Theorem ssct 6775

Description: A subset of a set dominated by om is dominated by om. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssct	|- ( ( A C_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ om )

Proof of Theorem ssct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 6710	. . . 4 |- ( B ~<_ om -> B e. _V )
2		ssdomg 6735	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( B ~<_ om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
4	3	impcom 124	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ B )
5		domtr 6742	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ om )
6	4, 5	sylancom 417	1 |- ( ( A C_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   class class class wbr 3976   omcom 4561   ~<_ cdom 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-dom 6699

This theorem is referenced by: (None)