ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssct Unicode version

Theorem ssct 6716
Description: A subset of a set dominated by  om is dominated by  om. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssct  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )

Proof of Theorem ssct
StepHypRef Expression
1 ctex 6651 . . . 4  |-  ( B  ~<_  om  ->  B  e.  _V )
2 ssdomg 6676 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( B  ~<_  om  ->  ( A  C_  B  ->  A  ~<_  B ) )
43impcom 124 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  B )
5 domtr 6683 . 2  |-  ( ( A  ~<_  B  /\  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
64, 5sylancom 417 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1481   _Vcvv 2687    C_ wss 3072   class class class wbr 3933   omcom 4508    ~<_ cdom 6637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-dom 6640
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator