Theorem ssct 6796

Description: A subset of a set dominated by om is dominated by om. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssct	|- ( ( A C_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ om )

Proof of Theorem ssct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 6731	. . . 4 |- ( B ~<_ om -> B e. _V )
2		ssdomg 6756	. . . 4 |- ( B e. _V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( B ~<_ om -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )
4	3	impcom 124	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ B )
5		domtr 6763	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ om )
6	4, 5	sylancom 418	1 |- ( ( A C_ B /\ B ~<_ om ) -> A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   omcom 4574   ~<_ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-dom 6720

This theorem is referenced by: (None)