Theorem ssdomg 6846

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4173	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5545	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 111	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5483	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5422	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 5291	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 5075	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 5280	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 146	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 5331	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 313	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 5264	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6824	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 116	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   _I cid 4324   `'ccnv 4663   |` cres 4666   Fun wfun 5253   -->wf 5255   -1-1->wf1 5256   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ~<_ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-dom 6810

This theorem is referenced by:  cnvct  6877  ssct  6886  xpdom3m  6902  0domg  6907  mapdom1g  6917  phplem4dom  6932  nndomo  6934  phpm  6935  fict  6938  domfiexmid  6948  infnfi  6965  exmidfodomrlemr  7281  exmidfodomrlemrALT  7282  pw1dom2  7310  fihashss  10925  phicl2  12407  phibnd  12410  4sqlem11  12595  qnnen  12673  isnzr2  13816  sbthom  15757