Theorem ssdomg 6475

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 3970	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 108	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5275	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5243	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 109	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5217	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5157	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 415	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 5032	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 4823	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 5022	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 144	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 5072	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 306	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 5007	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 132	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 270	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6453	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1174	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 114	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   C_ wss 2997   class class class wbr 3837   _I cid 4106   `'ccnv 4427   |` cres 4430   Fun wfun 4996   -->wf 4998   -1-1->wf1 4999   -onto->wfo 5000   -1-1-onto->wf1o 5001   ~<_ cdom 6436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-dom 6439

This theorem is referenced by:  cnvct  6506  ssct  6514  xpdom3m  6530  0domg  6533  mapdom1g  6543  phplem4dom  6558  nndomo  6560  phpm  6561  fict  6564  domfiexmid  6574  infnfi  6591  exmidfodomrlemr  6807  exmidfodomrlemrALT  6808  fihashss  10189  phicl2  11272  phibnd  11275  pw1dom2  11535