Theorem ssdomg 6872

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4184	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 111	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5500	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5439	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 5304	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 5088	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 5293	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 146	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 5347	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 313	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 5277	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6849	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 116	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   class class class wbr 4045   _I cid 4336   `'ccnv 4675   |` cres 4678   Fun wfun 5266   -->wf 5268   -1-1->wf1 5269   -onto->wfo 5270   -1-1-onto->wf1o 5271   ~<_ cdom 6828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-dom 6831

This theorem is referenced by:  cnvct  6903  ssct  6915  xpdom3m  6931  0domg  6936  mapdom1g  6946  phplem4dom  6961  nndomo  6963  phpm  6964  fict  6967  domfiexmid  6977  infnfi  6994  exmidfodomrlemr  7312  exmidfodomrlemrALT  7313  pw1dom2  7341  fihashss  10963  phicl2  12569  phibnd  12572  4sqlem11  12757  qnnen  12835  isnzr2  13979  sbthom  16002