Theorem ssdomg 6870

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4183	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 110	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5560	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 145	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 111	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5498	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5437	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 424	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 5303	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 5087	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 5292	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 146	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 5346	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 313	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 5276	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 134	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 276	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6847	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 116	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   _I cid 4335   `'ccnv 4674   |` cres 4677   Fun wfun 5265   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ~<_ cdom 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-dom 6829

This theorem is referenced by:  cnvct  6901  ssct  6913  xpdom3m  6929  0domg  6934  mapdom1g  6944  phplem4dom  6959  nndomo  6961  phpm  6962  fict  6965  domfiexmid  6975  infnfi  6992  exmidfodomrlemr  7310  exmidfodomrlemrALT  7311  pw1dom2  7339  fihashss  10961  phicl2  12536  phibnd  12539  4sqlem11  12724  qnnen  12802  isnzr2  13946  sbthom  15965