Theorem ssdomg 6665

Description: A set dominates its subsets. Theorem 16 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 19-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssdomg	|- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Proof of Theorem ssdomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssexg 4062	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A e. _V )
2		simpr 109	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> B e. V )
3		f1oi 5398	. . . . . . . . . 10 |- ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A
4		dff1o3 5366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-onto-> A <-> ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
5	3, 4	mpbi 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A /\ Fun `' ( _I |` A ) )
6	5	simpli 110	. . . . . . . 8 |- ( _I |` A ) : A -onto-> A
7		fof 5340	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` A ) : A -onto-> A -> ( _I |` A ) : A --> A )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( _I |` A ) : A --> A
9		fss 5279	. . . . . . 7 |- ( ( ( _I |` A ) : A --> A /\ A C_ B ) -> ( _I |` A ) : A --> B )
10	8, 9	mpan 420	. . . . . 6 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A --> B )
11		funi 5150	. . . . . . . 8 |- Fun _I
12		cnvi 4938	. . . . . . . . 9 |- `' _I = _I
13	12	funeqi 5139	. . . . . . . 8 |- ( Fun `' _I <-> Fun _I )
14	11, 13	mpbir 145	. . . . . . 7 |- Fun `' _I
15		funres11 5190	. . . . . . 7 |- ( Fun `' _I -> Fun `' ( _I |` A ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Fun `' ( _I |` A )
17	10, 16	jctir 311	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
18		df-f1 5123	. . . . 5 |- ( ( _I |` A ) : A -1-1-> B <-> ( ( _I |` A ) : A --> B /\ Fun `' ( _I |` A ) ) )
19	17, 18	sylibr 133	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
20	19	adantr 274	. . 3 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> ( _I |` A ) : A -1-1-> B )
21		f1dom2g 6643	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. V /\ ( _I |` A ) : A -1-1-> B ) -> A ~<_ B )
22	1, 2, 20, 21	syl3anc 1216	. 2 |- ( ( A C_ B /\ B e. V ) -> A ~<_ B )
23	22	expcom 115	1 |- ( B e. V -> ( A C_ B -> A ~<_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   _I cid 4205   `'ccnv 4533   |` cres 4536   Fun wfun 5112   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117   ~<_ cdom 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-dom 6629

This theorem is referenced by:  cnvct  6696  ssct  6705  xpdom3m  6721  0domg  6724  mapdom1g  6734  phplem4dom  6749  nndomo  6751  phpm  6752  fict  6755  domfiexmid  6765  infnfi  6782  exmidfodomrlemr  7051  exmidfodomrlemrALT  7052  fihashss  10555  phicl2  11879  phibnd  11882  qnnen  11933  pw1dom2  13179  sbthom  13210