Theorem enpr2d 7111

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	|- ( ph -> A e. C )
enpr2d.2	|- ( ph -> B e. D )
enpr2d.3	|- ( ph -> -. A = B )

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	|- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. C )
2		ensn1g 7084	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } ~~ 1o )
4		enpr2d.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
5		1on 6694	. . . . 5 |- 1o e. On
6		en2sn 7102	. . . . 5 |- ( ( B e. D /\ 1o e. On ) -> { B } ~~ { 1o } )
7	4, 5, 6	sylancl 417	. . . 4 |- ( ph -> { B } ~~ { 1o } )
8		enpr2d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A = B )
9	8	neqned 2427	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= B )
10		disjsn2 3772	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
12	5	onirri 4690	. . . . . 6 |- -. 1o e. 1o
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -. 1o e. 1o )
14		disjsn 3771	. . . . 5 |- ( ( 1o i^i { 1o } ) = (/) <-> -. 1o e. 1o )
15	13, 14	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
16		unen 7105	. . . 4 |- ( ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ { 1o } ) /\ ( ( { A } i^i { B } ) = (/) /\ ( 1o i^i { 1o } ) = (/) ) ) -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 1279	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
18		df-pr 3716	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
19		df-suc 4516	. . 3 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
20	17, 18, 19	3brtr4g 4164	. 2 |- ( ph -> { A , B } ~~ suc 1o )
21		df-2o 6688	. 2 |- 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 4172	1 |- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   u. cun 3218   i^i cin 3219   (/)c0 3520   {csn 3709   {cpr 3710   class class class wbr 4130   Oncon0 4508   suc csuc 4510   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ~~ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023

This theorem is used by:  isnzr2  14491