Theorem enpr2d 6885

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	|- ( ph -> A e. C )
enpr2d.2	|- ( ph -> B e. D )
enpr2d.3	|- ( ph -> -. A = B )

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	|- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. C )
2		ensn1g 6865	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } ~~ 1o )
4		enpr2d.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
5		1on 6490	. . . . 5 |- 1o e. On
6		en2sn 6881	. . . . 5 |- ( ( B e. D /\ 1o e. On ) -> { B } ~~ { 1o } )
7	4, 5, 6	sylancl 413	. . . 4 |- ( ph -> { B } ~~ { 1o } )
8		enpr2d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A = B )
9	8	neqned 2374	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= B )
10		disjsn2 3686	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
12	5	onirri 4580	. . . . . 6 |- -. 1o e. 1o
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -. 1o e. 1o )
14		disjsn 3685	. . . . 5 |- ( ( 1o i^i { 1o } ) = (/) <-> -. 1o e. 1o )
15	13, 14	sylibr 134	. . . 4 |- ( ph -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
16		unen 6884	. . . 4 |- ( ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ { 1o } ) /\ ( ( { A } i^i { B } ) = (/) /\ ( 1o i^i { 1o } ) = (/) ) ) -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
18		df-pr 3630	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
19		df-suc 4407	. . 3 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
20	17, 18, 19	3brtr4g 4068	. 2 |- ( ph -> { A , B } ~~ suc 1o )
21		df-2o 6484	. 2 |- 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 4076	1 |- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3451   {csn 3623   {cpr 3624   class class class wbr 4034   Oncon0 4399   suc csuc 4401   1oc1o 6476   2oc2o 6477   ~~ cen 6806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-1o 6483  df-2o 6484  df-er 6601  df-en 6809

This theorem is referenced by:  isnzr2  13816