Theorem enpr2d 6783

Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
enpr2d.1	|- ( ph -> A e. C )
enpr2d.2	|- ( ph -> B e. D )
enpr2d.3	|- ( ph -> -. A = B )

Assertion

Ref	Expression
enpr2d	|- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Proof of Theorem enpr2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enpr2d.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. C )
2		ensn1g 6763	. . . . 5 |- ( A e. C -> { A } ~~ 1o )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> { A } ~~ 1o )
4		enpr2d.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. D )
5		1on 6391	. . . . 5 |- 1o e. On
6		en2sn 6779	. . . . 5 |- ( ( B e. D /\ 1o e. On ) -> { B } ~~ { 1o } )
7	4, 5, 6	sylancl 410	. . . 4 |- ( ph -> { B } ~~ { 1o } )
8		enpr2d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> -. A = B )
9	8	neqned 2343	. . . . 5 |- ( ph -> A =/= B )
10		disjsn2 3639	. . . . 5 |- ( A =/= B -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
11	9, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( { A } i^i { B } ) = (/) )
12	5	onirri 4520	. . . . . 6 |- -. 1o e. 1o
13	12	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> -. 1o e. 1o )
14		disjsn 3638	. . . . 5 |- ( ( 1o i^i { 1o } ) = (/) <-> -. 1o e. 1o )
15	13, 14	sylibr 133	. . . 4 |- ( ph -> ( 1o i^i { 1o } ) = (/) )
16		unen 6782	. . . 4 |- ( ( ( { A } ~~ 1o /\ { B } ~~ { 1o } ) /\ ( ( { A } i^i { B } ) = (/) /\ ( 1o i^i { 1o } ) = (/) ) ) -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
17	3, 7, 11, 15, 16	syl22anc 1229	. . 3 |- ( ph -> ( { A } u. { B } ) ~~ ( 1o u. { 1o } ) )
18		df-pr 3583	. . 3 |- { A , B } = ( { A } u. { B } )
19		df-suc 4349	. . 3 |- suc 1o = ( 1o u. { 1o } )
20	17, 18, 19	3brtr4g 4016	. 2 |- ( ph -> { A , B } ~~ suc 1o )
21		df-2o 6385	. 2 |- 2o = suc 1o
22	20, 21	breqtrrdi 4024	1 |- ( ph -> { A , B } ~~ 2o )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   u. cun 3114   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   {cpr 3577   class class class wbr 3982   Oncon0 4341   suc csuc 4343   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ~~ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707

This theorem is referenced by: (None)