ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enpr2d Unicode version

Theorem enpr2d 6811
Description: A pair with distinct elements is equinumerous to ordinal two. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
enpr2d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
enpr2d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
enpr2d.3  |-  ( ph  ->  -.  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
enpr2d  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  ~~  2o )

Proof of Theorem enpr2d
StepHypRef Expression
1 enpr2d.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  C )
2 ensn1g 6791 . . . . 5  |-  ( A  e.  C  ->  { A }  ~~  1o )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  { A }  ~~  1o )
4 enpr2d.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  D )
5 1on 6418 . . . . 5  |-  1o  e.  On
6 en2sn 6807 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  D  /\  1o  e.  On )  ->  { B }  ~~  { 1o } )
74, 5, 6sylancl 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  { B }  ~~  { 1o } )
8 enpr2d.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  A  =  B )
98neqned 2354 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
10 disjsn2 3654 . . . . 5  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
119, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
125onirri 4539 . . . . . 6  |-  -.  1o  e.  1o
1312a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  1o  e.  1o )
14 disjsn 3653 . . . . 5  |-  ( ( 1o  i^i  { 1o } )  =  (/)  <->  -.  1o  e.  1o )
1513, 14sylibr 134 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1o  i^i  { 1o } )  =  (/) )
16 unen 6810 . . . 4  |-  ( ( ( { A }  ~~  1o  /\  { B }  ~~  { 1o }
)  /\  ( ( { A }  i^i  { B } )  =  (/)  /\  ( 1o  i^i  { 1o } )  =  (/) ) )  ->  ( { A }  u.  { B } )  ~~  ( 1o  u.  { 1o }
) )
173, 7, 11, 15, 16syl22anc 1239 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  { B } ) 
~~  ( 1o  u.  { 1o } ) )
18 df-pr 3598 . . 3  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
19 df-suc 4368 . . 3  |-  suc  1o  =  ( 1o  u.  { 1o } )
2017, 18, 193brtr4g 4034 . 2  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  ~~  suc  1o )
21 df-2o 6412 . 2  |-  2o  =  suc  1o
2220, 21breqtrrdi 4042 1  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  ~~  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347    u. cun 3127    i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3591   {cpr 3592   class class class wbr 4000   Oncon0 4360   suc csuc 4362   1oc1o 6404   2oc2o 6405    ~~ cen 6732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator