Theorem 1domsn 6776

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	|- { A } ~<_ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6399	. . . 4 |- (/) e. 1o
2	1	rgenw 2519	. . 3 |- A. x e. { A } (/) e. 1o
3		elsni 3588	. . . . . . 7 |- ( x e. { A } -> x = A )
4	3	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = A )
5		elsni 3588	. . . . . . 7 |- ( y e. { A } -> y = A )
6	5	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> y = A )
7	4, 6	eqtr4d 2200	. . . . 5 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = y )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> ( (/) = (/) -> x = y ) )
9	8	rgen2a 2518	. . 3 |- A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y )
10		eqid 2164	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> (/) ) = ( x e. { A } |-> (/) )
11		eqidd 2165	. . . 4 |- ( x = y -> (/) = (/) )
12	10, 11	f1mpt 5733	. . 3 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o <-> ( A. x e. { A } (/) e. 1o /\ A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y ) ) )
13	2, 9, 12	mpbir2an 931	. 2 |- ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o
14		1oex 6383	. . 3 |- 1o e. _V
15	14	f1dom 6717	. 2 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o -> { A } ~<_ 1o )
16	13, 15	ax-mp 5	1 |- { A } ~<_ 1o

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   A.wral 2442   (/)c0 3404   {csn 3570   class class class wbr 3976   |-> cmpt 4037   -1-1->wf1 5179   1oc1o 6368   ~<_ cdom 6696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-suc 4343  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-1o 6375  df-dom 6699

This theorem is referenced by: (None)