ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1domsn Unicode version

Theorem 1domsn 6795
Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
1domsn  |-  { A }  ~<_  1o

Proof of Theorem 1domsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1o 6417 . . . 4  |-  (/)  e.  1o
21rgenw 2525 . . 3  |-  A. x  e.  { A } (/)  e.  1o
3 elsni 3599 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
43adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  =  A )
5 elsni 3599 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { A }  ->  y  =  A )
65adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  y  =  A )
74, 6eqtr4d 2206 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  x  =  y )
87a1d 22 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { A }  /\  y  e.  { A } )  ->  ( (/)  =  (/)  ->  x  =  y ) )
98rgen2a 2524 . . 3  |-  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( (/)  =  (/)  ->  x  =  y )
10 eqid 2170 . . . 4  |-  ( x  e.  { A }  |->  (/) )  =  (
x  e.  { A }  |->  (/) )
11 eqidd 2171 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (/)  =  (/) )
1210, 11f1mpt 5748 . . 3  |-  ( ( x  e.  { A }  |->  (/) ) : { A } -1-1-> 1o  <->  ( A. x  e.  { A } (/)  e.  1o  /\  A. x  e.  { A } A. y  e.  { A }  ( (/)  =  (/)  ->  x  =  y ) ) )
132, 9, 12mpbir2an 937 . 2  |-  ( x  e.  { A }  |->  (/) ) : { A } -1-1-> 1o
14 1oex 6401 . . 3  |-  1o  e.  _V
1514f1dom 6736 . 2  |-  ( ( x  e.  { A }  |->  (/) ) : { A } -1-1-> 1o  ->  { A }  ~<_  1o )
1613, 15ax-mp 5 1  |-  { A }  ~<_  1o
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   {csn 3581   class class class wbr 3987    |-> cmpt 4048   -1-1->wf1 5193   1oc1o 6386    ~<_ cdom 6715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1o 6393  df-dom 6718
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator