Theorem 1domsn 6939

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	|- { A } ~<_ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6549	. . . 4 |- (/) e. 1o
2	1	rgenw 2563	. . 3 |- A. x e. { A } (/) e. 1o
3		elsni 3661	. . . . . . 7 |- ( x e. { A } -> x = A )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = A )
5		elsni 3661	. . . . . . 7 |- ( y e. { A } -> y = A )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> y = A )
7	4, 6	eqtr4d 2243	. . . . 5 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = y )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> ( (/) = (/) -> x = y ) )
9	8	rgen2a 2562	. . 3 |- A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y )
10		eqid 2207	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> (/) ) = ( x e. { A } |-> (/) )
11		eqidd 2208	. . . 4 |- ( x = y -> (/) = (/) )
12	10, 11	f1mpt 5863	. . 3 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o <-> ( A. x e. { A } (/) e. 1o /\ A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y ) ) )
13	2, 9, 12	mpbir2an 945	. 2 |- ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o
14		1oex 6533	. . 3 |- 1o e. _V
15	14	f1dom 6874	. 2 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o -> { A } ~<_ 1o )
16	13, 15	ax-mp 5	1 |- { A } ~<_ 1o

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   (/)c0 3468   {csn 3643   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   -1-1->wf1 5287   1oc1o 6518   ~<_ cdom 6849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-1o 6525  df-dom 6852

This theorem is referenced by: (None)