Theorem 1domsn 6666

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	|- { A } ~<_ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6291	. . . 4 |- (/) e. 1o
2	1	rgenw 2461	. . 3 |- A. x e. { A } (/) e. 1o
3		elsni 3511	. . . . . . 7 |- ( x e. { A } -> x = A )
4	3	adantr 272	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = A )
5		elsni 3511	. . . . . . 7 |- ( y e. { A } -> y = A )
6	5	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> y = A )
7	4, 6	eqtr4d 2150	. . . . 5 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = y )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> ( (/) = (/) -> x = y ) )
9	8	rgen2a 2460	. . 3 |- A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y )
10		eqid 2115	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> (/) ) = ( x e. { A } |-> (/) )
11		eqidd 2116	. . . 4 |- ( x = y -> (/) = (/) )
12	10, 11	f1mpt 5626	. . 3 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o <-> ( A. x e. { A } (/) e. 1o /\ A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y ) ) )
13	2, 9, 12	mpbir2an 909	. 2 |- ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o
14		1oex 6275	. . 3 |- 1o e. _V
15	14	f1dom 6608	. 2 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o -> { A } ~<_ 1o )
16	13, 15	ax-mp 7	1 |- { A } ~<_ 1o

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1314   e. wcel 1463   A.wral 2390   (/)c0 3329   {csn 3493   class class class wbr 3895   |-> cmpt 3949   -1-1->wf1 5078   1oc1o 6260   ~<_ cdom 6587

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-suc 4253  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-1o 6267  df-dom 6590

This theorem is referenced by: (None)