Theorem 1domsn 6837

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	|- { A } ~<_ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6459	. . . 4 |- (/) e. 1o
2	1	rgenw 2545	. . 3 |- A. x e. { A } (/) e. 1o
3		elsni 3625	. . . . . . 7 |- ( x e. { A } -> x = A )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = A )
5		elsni 3625	. . . . . . 7 |- ( y e. { A } -> y = A )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> y = A )
7	4, 6	eqtr4d 2225	. . . . 5 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = y )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> ( (/) = (/) -> x = y ) )
9	8	rgen2a 2544	. . 3 |- A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y )
10		eqid 2189	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> (/) ) = ( x e. { A } |-> (/) )
11		eqidd 2190	. . . 4 |- ( x = y -> (/) = (/) )
12	10, 11	f1mpt 5788	. . 3 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o <-> ( A. x e. { A } (/) e. 1o /\ A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y ) ) )
13	2, 9, 12	mpbir2an 944	. 2 |- ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o
14		1oex 6443	. . 3 |- 1o e. _V
15	14	f1dom 6778	. 2 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o -> { A } ~<_ 1o )
16	13, 15	ax-mp 5	1 |- { A } ~<_ 1o

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   (/)c0 3437   {csn 3607   class class class wbr 4018   |-> cmpt 4079   -1-1->wf1 5228   1oc1o 6428   ~<_ cdom 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-1o 6435  df-dom 6760

This theorem is referenced by: (None)