Theorem 1domsn 6914

Description: A singleton (whether of a set or a proper class) is dominated by one. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
1domsn	|- { A } ~<_ 1o

Proof of Theorem 1domsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6526	. . . 4 |- (/) e. 1o
2	1	rgenw 2561	. . 3 |- A. x e. { A } (/) e. 1o
3		elsni 3651	. . . . . . 7 |- ( x e. { A } -> x = A )
4	3	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = A )
5		elsni 3651	. . . . . . 7 |- ( y e. { A } -> y = A )
6	5	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> y = A )
7	4, 6	eqtr4d 2241	. . . . 5 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> x = y )
8	7	a1d 22	. . . 4 |- ( ( x e. { A } /\ y e. { A } ) -> ( (/) = (/) -> x = y ) )
9	8	rgen2a 2560	. . 3 |- A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y )
10		eqid 2205	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> (/) ) = ( x e. { A } |-> (/) )
11		eqidd 2206	. . . 4 |- ( x = y -> (/) = (/) )
12	10, 11	f1mpt 5840	. . 3 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o <-> ( A. x e. { A } (/) e. 1o /\ A. x e. { A } A. y e. { A } ( (/) = (/) -> x = y ) ) )
13	2, 9, 12	mpbir2an 945	. 2 |- ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o
14		1oex 6510	. . 3 |- 1o e. _V
15	14	f1dom 6851	. 2 |- ( ( x e. { A } |-> (/) ) : { A } -1-1-> 1o -> { A } ~<_ 1o )
16	13, 15	ax-mp 5	1 |- { A } ~<_ 1o

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   (/)c0 3460   {csn 3633   class class class wbr 4044   |-> cmpt 4105   -1-1->wf1 5268   1oc1o 6495   ~<_ cdom 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-dom 6829

This theorem is referenced by: (None)