Theorem domtr 7038

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domtr

Dummy variables x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6993	. 2 |- Rel ~<_
2		vex 2818	. . . 4 |- y e. _V
3	2	brdom 7000	. . 3 |- ( x ~<_ y <-> E. g g : x -1-1-> y )
4		vex 2818	. . . 4 |- z e. _V
5	4	brdom 7000	. . 3 |- ( y ~<_ z <-> E. f f : y -1-1-> z )
6		eeanv 1988	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) )
7		f1co 5590	. . . . . . . 8 |- ( ( f : y -1-1-> z /\ g : x -1-1-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
8	7	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
9		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
11	9, 10	coex 5313	. . . . . . . 8 |- ( f o. g ) e. _V
12		f1eq1 5573	. . . . . . . 8 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : x -1-1-> z <-> ( f o. g ) : x -1-1-> z ) )
13	11, 12	spcev 2914	. . . . . . 7 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-> z -> E. h h : x -1-1-> z )
14	8, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> E. h h : x -1-1-> z )
15	4	brdom 7000	. . . . . 6 |- ( x ~<_ z <-> E. h h : x -1-1-> z )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
17	16	exlimivv 1948	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
18	6, 17	sylbir 135	. . 3 |- ( ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
19	3, 5, 18	syl2anb 291	. 2 |- ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ z ) -> x ~<_ z )
20	1, 19	vtoclr 4803	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1541   class class class wbr 4114   o. ccom 4758   -1-1->wf1 5354   ~<_ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  endomtr  7043  domentr  7044  cnvct  7063  ssct  7080  nndomo  7131  infnfi  7165  xpct  13231  pw1ninf  16891