Theorem domtr 6751

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domtr

Dummy variables x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6711	. 2 |- Rel ~<_
2		vex 2729	. . . 4 |- y e. _V
3	2	brdom 6716	. . 3 |- ( x ~<_ y <-> E. g g : x -1-1-> y )
4		vex 2729	. . . 4 |- z e. _V
5	4	brdom 6716	. . 3 |- ( y ~<_ z <-> E. f f : y -1-1-> z )
6		eeanv 1920	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) )
7		f1co 5405	. . . . . . . 8 |- ( ( f : y -1-1-> z /\ g : x -1-1-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
8	7	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
9		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10		vex 2729	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
11	9, 10	coex 5149	. . . . . . . 8 |- ( f o. g ) e. _V
12		f1eq1 5388	. . . . . . . 8 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : x -1-1-> z <-> ( f o. g ) : x -1-1-> z ) )
13	11, 12	spcev 2821	. . . . . . 7 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-> z -> E. h h : x -1-1-> z )
14	8, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> E. h h : x -1-1-> z )
15	4	brdom 6716	. . . . . 6 |- ( x ~<_ z <-> E. h h : x -1-1-> z )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
17	16	exlimivv 1884	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
18	6, 17	sylbir 134	. . 3 |- ( ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
19	3, 5, 18	syl2anb 289	. 2 |- ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ z ) -> x ~<_ z )
20	1, 19	vtoclr 4652	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1480   class class class wbr 3982   o. ccom 4608   -1-1->wf1 5185   ~<_ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-dom 6708

This theorem is referenced by:  endomtr  6756  domentr  6757  cnvct  6775  ssct  6784  nndomo  6830  infnfi  6861  xpct  12329