Theorem domtr 6763

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domtr

Dummy variables x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6723	. 2 |- Rel ~<_
2		vex 2733	. . . 4 |- y e. _V
3	2	brdom 6728	. . 3 |- ( x ~<_ y <-> E. g g : x -1-1-> y )
4		vex 2733	. . . 4 |- z e. _V
5	4	brdom 6728	. . 3 |- ( y ~<_ z <-> E. f f : y -1-1-> z )
6		eeanv 1925	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) )
7		f1co 5415	. . . . . . . 8 |- ( ( f : y -1-1-> z /\ g : x -1-1-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
8	7	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
9		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
11	9, 10	coex 5156	. . . . . . . 8 |- ( f o. g ) e. _V
12		f1eq1 5398	. . . . . . . 8 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : x -1-1-> z <-> ( f o. g ) : x -1-1-> z ) )
13	11, 12	spcev 2825	. . . . . . 7 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-> z -> E. h h : x -1-1-> z )
14	8, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> E. h h : x -1-1-> z )
15	4	brdom 6728	. . . . . 6 |- ( x ~<_ z <-> E. h h : x -1-1-> z )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . 5 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
17	16	exlimivv 1889	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
18	6, 17	sylbir 134	. . 3 |- ( ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
19	3, 5, 18	syl2anb 289	. 2 |- ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ z ) -> x ~<_ z )
20	1, 19	vtoclr 4659	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E.wex 1485   class class class wbr 3989   o. ccom 4615   -1-1->wf1 5195   ~<_ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-dom 6720

This theorem is referenced by:  endomtr  6768  domentr  6769  cnvct  6787  ssct  6796  nndomo  6842  infnfi  6873  xpct  12351