Theorem domtr 6900

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domtr

Dummy variables x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6855	. 2 |- Rel ~<_
2		vex 2779	. . . 4 |- y e. _V
3	2	brdom 6862	. . 3 |- ( x ~<_ y <-> E. g g : x -1-1-> y )
4		vex 2779	. . . 4 |- z e. _V
5	4	brdom 6862	. . 3 |- ( y ~<_ z <-> E. f f : y -1-1-> z )
6		eeanv 1961	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) )
7		f1co 5515	. . . . . . . 8 |- ( ( f : y -1-1-> z /\ g : x -1-1-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
8	7	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
9		vex 2779	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10		vex 2779	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
11	9, 10	coex 5247	. . . . . . . 8 |- ( f o. g ) e. _V
12		f1eq1 5498	. . . . . . . 8 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : x -1-1-> z <-> ( f o. g ) : x -1-1-> z ) )
13	11, 12	spcev 2875	. . . . . . 7 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-> z -> E. h h : x -1-1-> z )
14	8, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> E. h h : x -1-1-> z )
15	4	brdom 6862	. . . . . 6 |- ( x ~<_ z <-> E. h h : x -1-1-> z )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
17	16	exlimivv 1921	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
18	6, 17	sylbir 135	. . 3 |- ( ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
19	3, 5, 18	syl2anb 291	. 2 |- ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ z ) -> x ~<_ z )
20	1, 19	vtoclr 4741	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1516   class class class wbr 4059   o. ccom 4697   -1-1->wf1 5287   ~<_ cdom 6849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-dom 6852

This theorem is referenced by:  endomtr  6905  domentr  6906  cnvct  6925  ssct  6938  nndomo  6986  infnfi  7018  xpct  12882