Theorem domtr 7072

Description: Transitivity of dominance relation. Theorem 17 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 4-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
domtr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domtr

Dummy variables x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7027	. 2 |- Rel ~<_
2		vex 2824	. . . 4 |- y e. _V
3	2	brdom 7034	. . 3 |- ( x ~<_ y <-> E. g g : x -1-1-> y )
4		vex 2824	. . . 4 |- z e. _V
5	4	brdom 7034	. . 3 |- ( y ~<_ z <-> E. f f : y -1-1-> z )
6		eeanv 1992	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) <-> ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) )
7		f1co 5610	. . . . . . . 8 |- ( ( f : y -1-1-> z /\ g : x -1-1-> y ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
8	7	ancoms 268	. . . . . . 7 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> ( f o. g ) : x -1-1-> z )
9		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
11	9, 10	coex 5333	. . . . . . . 8 |- ( f o. g ) e. _V
12		f1eq1 5593	. . . . . . . 8 |- ( h = ( f o. g ) -> ( h : x -1-1-> z <-> ( f o. g ) : x -1-1-> z ) )
13	11, 12	spcev 2920	. . . . . . 7 |- ( ( f o. g ) : x -1-1-> z -> E. h h : x -1-1-> z )
14	8, 13	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> E. h h : x -1-1-> z )
15	4	brdom 7034	. . . . . 6 |- ( x ~<_ z <-> E. h h : x -1-1-> z )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
17	16	exlimivv 1952	. . . 4 |- ( E. g E. f ( g : x -1-1-> y /\ f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
18	6, 17	sylbir 135	. . 3 |- ( ( E. g g : x -1-1-> y /\ E. f f : y -1-1-> z ) -> x ~<_ z )
19	3, 5, 18	syl2anb 291	. 2 |- ( ( x ~<_ y /\ y ~<_ z ) -> x ~<_ z )
20	1, 19	vtoclr 4823	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1545   class class class wbr 4130   o. ccom 4778   -1-1->wf1 5374   ~<_ cdom 7021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-dom 7024

This theorem is used by:  endomtr  7077  domentr  7078  cnvct  7097  ssct  7114  nndomo  7165  infnfi  7199  xpct  13287  pw1ninf  17021