ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssct GIF version

Theorem ssct 6462
Description: Any subset of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssct ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct
StepHypRef Expression
1 ctex 6398 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2 ssdomg 6423 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐵 ≼ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43impcom 123 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴𝐵)
5 domtr 6430 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
64, 5sylancom 411 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  Vcvv 2612  wss 2984   class class class wbr 3811  ωcom 4367  cdom 6384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-id 4083  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-dom 6387
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator