Theorem ssct 6705

Description: A subset of a set dominated by ω is dominated by ω. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssct	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 6640	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2		ssdomg 6665	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
4	3	impcom 124	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5		domtr 6672	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6	4, 5	sylancom 416	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066   class class class wbr 3924  ωcom 4499   ≼ cdom 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-dom 6629

This theorem is referenced by: (None)