Theorem ssct 6811

Description: A subset of a set dominated by ω is dominated by ω. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ssct	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctex 6746	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2		ssdomg 6771	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐵 ≼ ω → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))
4	3	impcom 125	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ 𝐵)
5		domtr 6778	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
6	4, 5	sylancom 420	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4000  ωcom 4585   ≼ cdom 6732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-dom 6735

This theorem is referenced by: (None)