ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssct GIF version

Theorem ssct 6486
Description: Any subset of a countable set is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
ssct ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem ssct
StepHypRef Expression
1 ctex 6422 . . . 4 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2 ssdomg 6447 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐵 ≼ ω → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
43impcom 123 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴𝐵)
5 domtr 6454 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
64, 5sylancom 411 1 ((𝐴𝐵𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436  Vcvv 2615  wss 2988   class class class wbr 3820  ωcom 4378  cdom 6408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-dom 6411
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator