Theorem toponcomb 12820

Description: Biconditional form of toponcom 12819. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toponcomb	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Proof of Theorem toponcomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponcom 12819	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ J e. (TopOn ` U. K ) ) -> K e. (TopOn ` U. J ) )
2	1	ex 114	. . 3 |- ( K e. Top -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
4		toponcom 12819	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )
5	4	ex 114	. . 3 |- ( J e. Top -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
7	3, 6	impbid 128	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   U.cuni 3796   ` cfv 5198   Topctop 12789  TopOnctopon 12802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-topon 12803

This theorem is referenced by: (None)