Theorem toponcomb 11977

Description: Biconditional form of toponcom 11976. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toponcomb	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Proof of Theorem toponcomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponcom 11976	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ J e. (TopOn ` U. K ) ) -> K e. (TopOn ` U. J ) )
2	1	ex 114	. . 3 |- ( K e. Top -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
3	2	adantl 273	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
4		toponcom 11976	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )
5	4	ex 114	. . 3 |- ( J e. Top -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
6	5	adantr 272	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
7	3, 6	impbid 128	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448   U.cuni 3683   ` cfv 5059   Topctop 11946  TopOnctopon 11959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topon 11960

This theorem is referenced by: (None)