Theorem toponcomb 15055

Description: Biconditional form of toponcom 15054. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toponcomb	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Proof of Theorem toponcomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponcom 15054	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ J e. (TopOn ` U. K ) ) -> K e. (TopOn ` U. J ) )
2	1	ex 115	. . 3 |- ( K e. Top -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
4		toponcom 15054	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )
5	4	ex 115	. . 3 |- ( J e. Top -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
7	3, 6	impbid 129	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2209   U.cuni 3933   ` cfv 5375   Topctop 15024  TopOnctopon 15037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-topon 15038

This theorem is referenced by: (None)