Theorem toponcomb 13388

Description: Biconditional form of toponcom 13387. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
toponcomb	|- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Proof of Theorem toponcomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponcom 13387	. . . 4 |- ( ( K e. Top /\ J e. (TopOn ` U. K ) ) -> K e. (TopOn ` U. J ) )
2	1	ex 115	. . 3 |- ( K e. Top -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) -> K e. (TopOn ` U. J ) ) )
4		toponcom 13387	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )
5	4	ex 115	. . 3 |- ( J e. Top -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
6	5	adantr 276	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( K e. (TopOn ` U. J ) -> J e. (TopOn ` U. K ) ) )
7	3, 6	impbid 129	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> K e. (TopOn ` U. J ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   U.cuni 3809   ` cfv 5214   Topctop 13357  TopOnctopon 13370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-topon 13371

This theorem is referenced by: (None)