ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  toponcom Unicode version

Theorem toponcom 13924
Description: If  K is a topology on the base set of topology  J, then  J is a topology on the base of  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponcom  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. K ) )

Proof of Theorem toponcom
StepHypRef Expression
1 toponuni 13912 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. J )  ->  U. J  =  U. K )
21eqcomd 2195 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. J )  ->  U. K  =  U. J )
32anim2i 342 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
U. K  =  U. J ) )
4 istopon 13910 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. K  =  U. J ) )
53, 4sylibr 134 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   U.cuni 3824   ` cfv 5231   Topctop 13894  TopOnctopon 13907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-topon 13908
This theorem is referenced by:  toponcomb  13925
  Copyright terms: Public domain W3C validator