ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  toponcom Unicode version

Theorem toponcom 12220
Description: If  K is a topology on the base set of topology  J, then  J is a topology on the base of  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponcom  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. K ) )

Proof of Theorem toponcom
StepHypRef Expression
1 toponuni 12208 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. J )  ->  U. J  =  U. K )
21eqcomd 2145 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. J )  ->  U. K  =  U. J )
32anim2i 339 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
U. K  =  U. J ) )
4 istopon 12206 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. K  =  U. J ) )
53, 4sylibr 133 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   U.cuni 3739   ` cfv 5126   Topctop 12190  TopOnctopon 12203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-topon 12204
This theorem is referenced by:  toponcomb  12221
  Copyright terms: Public domain W3C validator