ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  toponcom Unicode version

Theorem toponcom 14206
Description: If  K is a topology on the base set of topology  J, then  J is a topology on the base of  K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
toponcom  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. K ) )

Proof of Theorem toponcom
StepHypRef Expression
1 toponuni 14194 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. J )  ->  U. J  =  U. K )
21eqcomd 2199 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. J )  ->  U. K  =  U. J )
32anim2i 342 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  -> 
( J  e.  Top  /\ 
U. K  =  U. J ) )
4 istopon 14192 . 2  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. K  =  U. J ) )
53, 4sylibr 134 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  (TopOn `  U. J ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   U.cuni 3836   ` cfv 5255   Topctop 14176  TopOnctopon 14189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-topon 14190
This theorem is referenced by:  toponcomb  14207
  Copyright terms: Public domain W3C validator