Theorem toponcom 14499

Description: If K is a topology on the base set of topology J, then J is a topology on the base of K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
toponcom	|- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )

Proof of Theorem toponcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toponuni 14487	. . . 4 |- ( K e. (TopOn ` U. J ) -> U. J = U. K )
2	1	eqcomd 2211	. . 3 |- ( K e. (TopOn ` U. J ) -> U. K = U. J )
3	2	anim2i 342	. 2 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> ( J e. Top /\ U. K = U. J ) )
4		istopon 14485	. 2 |- ( J e. (TopOn ` U. K ) <-> ( J e. Top /\ U. K = U. J ) )
5	3, 4	sylibr 134	1 |- ( ( J e. Top /\ K e. (TopOn ` U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   U.cuni 3850   ` cfv 5271   Topctop 14469  TopOnctopon 14482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topon 14483

This theorem is referenced by:  toponcomb  14500