ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  toponcomb GIF version

Theorem toponcomb 12209
Description: Biconditional form of toponcom 12208. (Contributed by BJ, 5-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
toponcomb ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽)))

Proof of Theorem toponcomb
StepHypRef Expression
1 toponcom 12208 . . . 4 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾)) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
21ex 114 . . 3 (𝐾 ∈ Top → (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽)))
32adantl 275 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾) → 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽)))
4 toponcom 12208 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
54ex 114 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾)))
65adantr 274 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾)))
73, 6impbid 128 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐾) ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐽)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   cuni 3736  cfv 5123  Topctop 12178  TopOnctopon 12191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topon 12192
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator