Theorem uniexb 4295

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4265	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4027	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4015	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 3978	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 405	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 124	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 103   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   C_ wss 2999   ~Pcpw 3429   U.cuni 3653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-uni 3654

This theorem is referenced by:  pwexb  4296  elpwpwel  4297  tfrlemibex  6094  tfr1onlembex  6110  tfrcllembex  6123