Theorem uniexb 4475

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4441	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4194	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4182	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 4144	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 126	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   ~Pcpw 3577   U.cuni 3811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-uni 3812

This theorem is referenced by:  pwexb  4476  elpwpwel  4477  tfrlemibex  6332  tfr1onlembex  6348  tfrcllembex  6361  ixpexgg  6724  ptex  12718  tgss2  13664  txbasex  13842