Theorem uniexb 4433

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4399	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4153	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4141	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 4103	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 411	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 125	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   ~Pcpw 3543   U.cuni 3772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-un 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-rex 2441  df-v 2714  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-uni 3773

This theorem is referenced by:  pwexb  4434  elpwpwel  4435  tfrlemibex  6276  tfr1onlembex  6292  tfrcllembex  6305  ixpexgg  6667  tgss2  12479  txbasex  12657