Theorem uniexb 4458

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4424	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4178	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4166	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 4128	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 412	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 125	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   U.cuni 3796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-uni 3797

This theorem is referenced by:  pwexb  4459  elpwpwel  4460  tfrlemibex  6308  tfr1onlembex  6324  tfrcllembex  6337  ixpexgg  6700  tgss2  12873  txbasex  13051