Theorem uniexb 4504

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4470	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4221	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4209	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 4168	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 414	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 126	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 105   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-uni 3836

This theorem is referenced by:  pwexb  4505  elpwpwel  4506  tfrlemibex  6382  tfr1onlembex  6398  tfrcllembex  6411  ixpexgg  6776  ptex  12875  tgss2  14247  txbasex  14425