Theorem uniexb 4323

Description: The Axiom of Union and its converse. A class is a set iff its union is a set. (Contributed by NM, 11-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
uniexb	|- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Proof of Theorem uniexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 4290	. 2 |- ( A e. _V -> U. A e. _V )
2		pwuni 4048	. . 3 |- A C_ ~P U. A
3		pwexg 4036	. . 3 |- ( U. A e. _V -> ~P U. A e. _V )
4		ssexg 3999	. . 3 |- ( ( A C_ ~P U. A /\ ~P U. A e. _V ) -> A e. _V )
5	2, 3, 4	sylancr 406	. 2 |- ( U. A e. _V -> A e. _V )
6	1, 5	impbii 125	1 |- ( A e. _V <-> U. A e. _V )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   C_ wss 3013   ~Pcpw 3449   U.cuni 3675

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-rex 2376  df-v 2635  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-uni 3676

This theorem is referenced by:  pwexb  4324  elpwpwel  4325  tfrlemibex  6132  tfr1onlembex  6148  tfrcllembex  6161  ixpexgg  6519  tgss2  11947