Theorem tfrlemibex 6384

Description: The set B exists. Lemma for tfrlemi1 6387. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibex	|- ( ph -> B e. _V )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . 4 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrlemisucfn.2	. . . 4 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
3		tfrlemi1.3	. . . 4 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
4		tfrlemi1.4	. . . 4 |- ( ph -> x e. On )
5		tfrlemi1.5	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibfn 6383	. . 3 |- ( ph -> U. B Fn x )
7		vex 2763	. . 3 |- x e. _V
8		fnex 5781	. . 3 |- ( ( U. B Fn x /\ x e. _V ) -> U. B e. _V )
9	6, 7, 8	sylancl 413	. 2 |- ( ph -> U. B e. _V )
10		uniexb 4505	. 2 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
11	9, 10	sylibr 134	1 |- ( ph -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   u. cun 3152   {csn 3619   <.cop 3622   U.cuni 3836   Oncon0 4395   |` cres 4662   Fun wfun 5249   Fn wfn 5250   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6360

This theorem is referenced by:  tfrlemiex  6386