ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlemibex Unicode version

Theorem tfrlemibex 6279
Description: The set  B exists. Lemma for tfrlemi1 6282. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrlemisucfn.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
tfrlemi1.3  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
tfrlemi1.5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
tfrlemibex  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
Distinct variable groups:    f, g, h, w, x, y, z, A    f, F, g, h, w, x, y, z    ph, w, y    w, B, f, g, h, z    ph, g, h, z
Allowed substitution hints:    ph( x, f)    B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibex
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.1 . . . 4  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
2 tfrlemisucfn.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
3 tfrlemi1.3 . . . 4  |-  B  =  { h  |  E. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  g  e.  A  /\  h  =  ( g  u.  { <. z ,  ( F `
 g ) >. } ) ) }
4 tfrlemi1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  x  e.  On )
5 tfrlemi1.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  x  E. g ( g  Fn  z  /\  A. w  e.  z  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
61, 2, 3, 4, 5tfrlemibfn 6278 . . 3  |-  ( ph  ->  U. B  Fn  x
)
7 vex 2715 . . 3  |-  x  e. 
_V
8 fnex 5692 . . 3  |-  ( ( U. B  Fn  x  /\  x  e.  _V )  ->  U. B  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 410 . 2  |-  ( ph  ->  U. B  e.  _V )
10 uniexb 4436 . 2  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
119, 10sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963   A.wal 1333    = wceq 1335   E.wex 1472    e. wcel 2128   {cab 2143   A.wral 2435   E.wrex 2436   _Vcvv 2712    u. cun 3100   {csn 3561   <.cop 3564   U.cuni 3774   Oncon0 4326    |` cres 4591   Fun wfun 5167    Fn wfn 5168   ` cfv 5173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-iord 4329  df-on 4331  df-suc 4334  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-recs 6255
This theorem is referenced by:  tfrlemiex  6281
  Copyright terms: Public domain W3C validator