Theorem tgss2 14961

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss2	|- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, C, y, z   x, V, y

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem tgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B = U. C )
2		uniexg 4562	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B e. _V )
4	1, 3	eqeltrrd 2312	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. C e. _V )
5		uniexb 4596	. . . 4 |- ( C e. _V <-> U. C e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> C e. _V )
7		tgss3 14960	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. _V ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
8	6, 7	syldan 282	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
9		eltg2b 14936	. . . . . . 7 |- ( C e. _V -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
10	6, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
11		elunii 3921	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. U. B )
12	11	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> x e. U. B )
13		biimt 241	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. B -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
15	14	ralbidva 2540	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
16	10, 15	sylan9bb 462	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
17		ralcom3 2713	. . . . 5 |- ( A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
18	16, 17	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
19	18	ralbidva 2540	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( A. y e. B y e. ( topGen ` C ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
20		dfss3 3229	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. y e. B y e. ( topGen ` C ) )
21		ralcom 2708	. . 3 |- ( A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
22	19, 20, 21	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	1 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   C_ wss 3213   U.cuni 3916   ` cfv 5354   topGenctg 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-topgen 13490

This theorem is referenced by:  metss  15376