Theorem tgss2 13441

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss2	|- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, C, y, z   x, V, y

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem tgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B = U. C )
2		uniexg 4438	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B e. _V )
4	1, 3	eqeltrrd 2255	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. C e. _V )
5		uniexb 4472	. . . 4 |- ( C e. _V <-> U. C e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> C e. _V )
7		tgss3 13440	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. _V ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
8	6, 7	syldan 282	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
9		eltg2b 13416	. . . . . . 7 |- ( C e. _V -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
10	6, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
11		elunii 3814	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. U. B )
12	11	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> x e. U. B )
13		biimt 241	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. B -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
15	14	ralbidva 2473	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
16	10, 15	sylan9bb 462	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
17		ralcom3 2644	. . . . 5 |- ( A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
18	16, 17	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
19	18	ralbidva 2473	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( A. y e. B y e. ( topGen ` C ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
20		dfss3 3145	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. y e. B y e. ( topGen ` C ) )
21		ralcom 2640	. . 3 |- ( A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
22	19, 20, 21	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	1 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   U.cuni 3809   ` cfv 5214   topGenctg 12690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-topgen 12696

This theorem is referenced by:  metss  13856