Theorem tgss2 14890

Description: A criterion for determining whether one topology is finer than another, based on a comparison of their bases. Lemma 2.2 of [Munkres] p. 80. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgss2	|- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, C, y, z   x, V, y

Allowed substitution hint:   V( z)

Proof of Theorem tgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B = U. C )
2		uniexg 4542	. . . . . 6 |- ( B e. V -> U. B e. _V )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. B e. _V )
4	1, 3	eqeltrrd 2309	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> U. C e. _V )
5		uniexb 4576	. . . 4 |- ( C e. _V <-> U. C e. _V )
6	4, 5	sylibr 134	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> C e. _V )
7		tgss3 14889	. . 3 |- ( ( B e. V /\ C e. _V ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
8	6, 7	syldan 282	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> B C_ ( topGen ` C ) ) )
9		eltg2b 14865	. . . . . . 7 |- ( C e. _V -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
10	6, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
11		elunii 3903	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. U. B )
12	11	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> x e. U. B )
13		biimt 241	. . . . . . . 8 |- ( x e. U. B -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ x e. y ) -> ( E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
15	14	ralbidva 2529	. . . . . 6 |- ( y e. B -> ( A. x e. y E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
16	10, 15	sylan9bb 462	. . . . 5 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
17		ralcom3 2702	. . . . 5 |- ( A. x e. y ( x e. U. B -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
18	16, 17	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) /\ y e. B ) -> ( y e. ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
19	18	ralbidva 2529	. . 3 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( A. y e. B y e. ( topGen ` C ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
20		dfss3 3217	. . 3 |- ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. y e. B y e. ( topGen ` C ) )
21		ralcom 2697	. . 3 |- ( A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) <-> A. y e. B A. x e. U. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) )
22	19, 20, 21	3bitr4g 223	. 2 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( B C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )
23	8, 22	bitrd 188	1 |- ( ( B e. V /\ U. B = U. C ) -> ( ( topGen ` B ) C_ ( topGen ` C ) <-> A. x e. U. B A. y e. B ( x e. y -> E. z e. C ( x e. z /\ z C_ y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   U.cuni 3898   ` cfv 5333   topGenctg 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13423

This theorem is referenced by:  metss  15305