Theorem ixpexgg 6781

Description: The existence of an infinite Cartesian product. x is normally a free-variable parameter in B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexgg	|- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpexgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 6780	. . 3 |- U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B )
2		iunexg 6176	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
3		xpexg 4777	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ U_ x e. A B e. _V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
4	2, 3	syldan 282	. . 3 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
5		ssexg 4172	. . 3 |- ( ( U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B ) /\ ( A X. U_ x e. A B ) e. _V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
7		uniexb 4508	. 2 |- ( X_ x e. A B e. _V <-> U. X_ x e. A B e. _V )
8	6, 7	sylibr 134	1 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   U.cuni 3839   U_ciun 3916   X. cxp 4661   X_cixp 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ixp 6758

This theorem is referenced by:  ptex  12935  prdsex  12940