ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpexgg Unicode version

Theorem ixpexgg 6735
Description: The existence of an infinite Cartesian product.  x is normally a free-variable parameter in 
B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)
Assertion
Ref Expression
ixpexgg  |-  ( ( A  e.  W  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)    W( x)

Proof of Theorem ixpexgg
StepHypRef Expression
1 uniixp 6734 . . 3  |-  U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )
2 iunexg 6133 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
3 xpexg 4752 . . . 4  |-  ( ( A  e.  W  /\  U_ x  e.  A  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
42, 3syldan 282 . . 3  |-  ( ( A  e.  W  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
5 ssexg 4154 . . 3  |-  ( ( U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B
)  /\  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e.  _V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 414 . 2  |-  ( ( A  e.  W  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 uniexb 4485 . 2  |-  ( X_ x  e.  A  B  e.  _V  <->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
86, 7sylibr 134 1  |-  ( ( A  e.  W  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2158   A.wral 2465   _Vcvv 2749    C_ wss 3141   U.cuni 3821   U_ciun 3898    X. cxp 4636   X_cixp 6711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ixp 6712
This theorem is referenced by:  ptex  12730  prdsex  12735
  Copyright terms: Public domain W3C validator