Theorem ixpexgg 6546

Description: The existence of an infinite Cartesian product. x is normally a free-variable parameter in B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexgg	|- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpexgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 6545	. . 3 |- U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B )
2		iunexg 5948	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
3		xpexg 4591	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ U_ x e. A B e. _V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
4	2, 3	syldan 278	. . 3 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
5		ssexg 4007	. . 3 |- ( ( U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B ) /\ ( A X. U_ x e. A B ) e. _V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
6	1, 4, 5	sylancr 408	. 2 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
7		uniexb 4332	. 2 |- ( X_ x e. A B e. _V <-> U. X_ x e. A B e. _V )
8	6, 7	sylibr 133	1 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   A.wral 2375   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   U.cuni 3683   U_ciun 3760   X. cxp 4475   X_cixp 6522

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ixp 6523

This theorem is referenced by: (None)