Theorem ixpexgg 6700

Description: The existence of an infinite Cartesian product. x is normally a free-variable parameter in B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexgg	|- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpexgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 6699	. . 3 |- U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B )
2		iunexg 6098	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
3		xpexg 4725	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ U_ x e. A B e. _V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
4	2, 3	syldan 280	. . 3 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
5		ssexg 4128	. . 3 |- ( ( U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B ) /\ ( A X. U_ x e. A B ) e. _V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
6	1, 4, 5	sylancr 412	. 2 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
7		uniexb 4458	. 2 |- ( X_ x e. A B e. _V <-> U. X_ x e. A B e. _V )
8	6, 7	sylibr 133	1 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   U.cuni 3796   U_ciun 3873   X. cxp 4609   X_cixp 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ixp 6677

This theorem is referenced by: (None)