Theorem ixpexgg 6778

Description: The existence of an infinite Cartesian product. x is normally a free-variable parameter in B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ixpexgg	|- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem ixpexgg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniixp 6777	. . 3 |- U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B )
2		iunexg 6173	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U_ x e. A B e. _V )
3		xpexg 4774	. . . 4 |- ( ( A e. W /\ U_ x e. A B e. _V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
4	2, 3	syldan 282	. . 3 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> ( A X. U_ x e. A B ) e. _V )
5		ssexg 4169	. . 3 |- ( ( U. X_ x e. A B C_ ( A X. U_ x e. A B ) /\ ( A X. U_ x e. A B ) e. _V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> U. X_ x e. A B e. _V )
7		uniexb 4505	. 2 |- ( X_ x e. A B e. _V <-> U. X_ x e. A B e. _V )
8	6, 7	sylibr 134	1 |- ( ( A e. W /\ A. x e. A B e. V ) -> X_ x e. A B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   U.cuni 3836   U_ciun 3913   X. cxp 4658   X_cixp 6754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6755

This theorem is referenced by:  ptex  12878  prdsex  12883