Theorem ptex 13297

Description: Existence of the product topology. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ptex	|- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) e. _V )

Proof of Theorem ptex

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pt 13294	. . 3 |- Xt_ = ( f e. _V |-> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) )
2		dmeq 4923	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> dom f = dom F )
3	2	fneq2d 5412	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( g Fn dom f <-> g Fn dom F ) )
4		fveq1 5626	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5	4	eleq2d 2299	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
6	2, 5	raleqbidv 2744	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
7	2	difeq1d 3321	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( dom f \ z ) = ( dom F \ z ) )
8	4	unieqd 3899	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> U. ( f ` y ) = U. ( F ` y ) )
9	8	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
10	7, 9	raleqbidv 2744	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
11	10	rexbidv 2531	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
12	3, 6, 11	3anbi123d 1346	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) <-> ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
13	2	ixpeq1d 6857	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> X_ y e. dom f ( g ` y ) = X_ y e. dom F ( g ` y ) )
14	13	eqeq2d 2241	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( x = X_ y e. dom f ( g ` y ) <-> x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
16	15	exbidv 1871	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
17	16	abbidv 2347	. . . 4 |- ( f = F -> { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } )
18	17	fveq2d 5631	. . 3 |- ( f = F -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) )
19		elex 2811	. . 3 |- ( F e. V -> F e. _V )
20		dmexg 4988	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
21		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
22		vex 2802	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
23	21, 22	fvex 5647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` y ) e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. V -> ( g ` y ) e. _V )
25	24	ralrimivw 2604	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
26		ixpexgg 6869	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F e. _V /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. _V ) -> X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
27	20, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2604	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
29		dfiun2g 3997	. . . . . . . 8 |- ( A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) = U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) = U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
31		rnexg 4989	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
32	31	uniexd 4531	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
33		mapvalg 6805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( U. ran F ^m dom F ) = { g | g : dom F --> U. ran F } )
34		mapex 6801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F e. _V /\ U. ran F e. _V ) -> { g | g : dom F --> U. ran F } e. _V )
35	34	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> { g | g : dom F --> U. ran F } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2306	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( U. ran F ^m dom F ) e. _V )
37	32, 20, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> ( U. ran F ^m dom F ) e. _V )
38		iunexg 6264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U. ran F ^m dom F ) e. _V /\ A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V ) -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
39	37, 28, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
40	30, 39	eqeltrrd 2307	. . . . . 6 |- ( F e. V -> U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
41		uniexb 4564	. . . . . 6 |- ( { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V <-> U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
42	40, 41	sylibr 134	. . . . 5 |- ( F e. V -> { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
43		simp1 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g Fn dom F )
44		fvssunirng 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. _V -> ( F ` y ) C_ U. ran F )
45	44	elv 2803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` y ) C_ U. ran F
46	45	sseli 3220	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) e. U. ran F )
47	46	ralimi 2593	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F )
48	47	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F )
49		ffnfv 5793	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : dom F --> U. ran F <-> ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F ) )
50	43, 48, 49	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g : dom F --> U. ran F )
51	32, 20	elmapd 6809	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) <-> g : dom F --> U. ran F ) )
52	50, 51	imbitrrid 156	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g e. ( U. ran F ^m dom F ) ) )
53	52	anim1d 336	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> ( ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
54	53	eximdv 1926	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> ( E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> E. g ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
55		df-rex 2514	. . . . . . 7 |- ( E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) <-> E. g ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
56	54, 55	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( F e. V -> ( E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
57	56	ss2abdv 3297	. . . . 5 |- ( F e. V -> { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } C_ { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
58	42, 57	ssexd 4224	. . . 4 |- ( F e. V -> { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } e. _V )
59		tgvalex 13296	. . . 4 |- ( { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } e. _V -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) e. _V )
60	58, 59	syl 14	. . 3 |- ( F e. V -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) e. _V )
61	1, 18, 19, 60	fvmptd3 5728	. 2 |- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) )
62	61, 60	eqeltrd 2306	1 |- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   _Vcvv 2799   \ cdif 3194   C_ wss 3197   U.cuni 3888   U_ciun 3965   dom cdm 4719   ran crn 4720   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   ^m cmap 6795   X_cixp 6845   Fincfn 6887   topGenctg 13287   Xt_cpt 13288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-map 6797  df-ixp 6846  df-topgen 13293  df-pt 13294

This theorem is referenced by:  prdsex  13302  prdsval  13306  prdsbaslemss  13307  psrval  14630  fnpsr  14631  psrbasg  14638  psrplusgg  14642