Theorem ptex 13618

Description: Existence of the product topology. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ptex	|- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) e. _V )

Proof of Theorem ptex

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pt 13615	. . 3 |- Xt_ = ( f e. _V |-> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) )
2		dmeq 4981	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> dom f = dom F )
3	2	fneq2d 5472	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( g Fn dom f <-> g Fn dom F ) )
4		fveq1 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5	4	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
6	2, 5	raleqbidv 2765	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
7	2	difeq1d 3346	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( dom f \ z ) = ( dom F \ z ) )
8	4	unieqd 3946	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> U. ( f ` y ) = U. ( F ` y ) )
9	8	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
10	7, 9	raleqbidv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
11	10	rexbidv 2551	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
12	3, 6, 11	3anbi123d 1353	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) <-> ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
13	2	ixpeq1d 6992	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> X_ y e. dom f ( g ` y ) = X_ y e. dom F ( g ` y ) )
14	13	eqeq2d 2250	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( x = X_ y e. dom f ( g ` y ) <-> x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
15	12, 14	anbi12d 477	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
16	15	exbidv 1878	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
17	16	abbidv 2358	. . . 4 |- ( f = F -> { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } )
18	17	fveq2d 5699	. . 3 |- ( f = F -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) )
19		elex 2833	. . 3 |- ( F e. V -> F e. _V )
20		dmexg 5046	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
21		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
22		vex 2824	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
23	21, 22	fvex 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` y ) e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. V -> ( g ` y ) e. _V )
25	24	ralrimivw 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
26		ixpexgg 7004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F e. _V /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. _V ) -> X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
27	20, 25, 26	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2624	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
29		dfiun2g 4044	. . . . . . . 8 |- ( A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) = U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) = U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
31		rnexg 5047	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
32	31	uniexd 4586	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
33		mapvalg 6932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( U. ran F ^m dom F ) = { g | g : dom F --> U. ran F } )
34		mapex 6928	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F e. _V /\ U. ran F e. _V ) -> { g | g : dom F --> U. ran F } e. _V )
35	34	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> { g | g : dom F --> U. ran F } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( U. ran F ^m dom F ) e. _V )
37	32, 20, 36	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> ( U. ran F ^m dom F ) e. _V )
38		iunexg 6348	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U. ran F ^m dom F ) e. _V /\ A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V ) -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
39	37, 28, 38	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
40	30, 39	eqeltrrd 2316	. . . . . 6 |- ( F e. V -> U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
41		uniexb 4619	. . . . . 6 |- ( { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V <-> U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
42	40, 41	sylibr 134	. . . . 5 |- ( F e. V -> { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
43		simp1 1028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g Fn dom F )
44		fvssunirng 5710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. _V -> ( F ` y ) C_ U. ran F )
45	44	elv 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` y ) C_ U. ran F
46	45	sseli 3244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) e. U. ran F )
47	46	ralimi 2613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F )
48	47	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F )
49		ffnfv 5866	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : dom F --> U. ran F <-> ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F ) )
50	43, 48, 49	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g : dom F --> U. ran F )
51	32, 20	elmapd 6936	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) <-> g : dom F --> U. ran F ) )
52	50, 51	imbitrrid 156	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g e. ( U. ran F ^m dom F ) ) )
53	52	anim1d 336	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> ( ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
54	53	eximdv 1933	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> ( E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> E. g ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
55		df-rex 2534	. . . . . . 7 |- ( E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) <-> E. g ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
56	54, 55	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( F e. V -> ( E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
57	56	ss2abdv 3321	. . . . 5 |- ( F e. V -> { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } C_ { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
58	42, 57	ssexd 4273	. . . 4 |- ( F e. V -> { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } e. _V )
59		tgvalex 13617	. . . 4 |- ( { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } e. _V -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) e. _V )
60	58, 59	syl 14	. . 3 |- ( F e. V -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) e. _V )
61	1, 18, 19, 60	fvmptd3 5799	. 2 |- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) )
62	61, 60	eqeltrd 2315	1 |- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   \ cdif 3217   C_ wss 3220   U.cuni 3935   U_ciun 4012   dom cdm 4774   ran crn 4775   Fn wfn 5372   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   X_cixp 6980   Fincfn 7022   topGenctg 13608   Xt_cpt 13609

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-map 6924  df-ixp 6981  df-topgen 13614  df-pt 13615

This theorem is used by:  prdsex  14172  prdsval  14173  prdsbaslemss  14174  psrval  15050  fnpsr  15051  psrbasg  15065  psrplusgg  15069