Theorem ptex 12878

Description: Existence of the product topology. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ptex	|- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) e. _V )

Proof of Theorem ptex

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pt 12875	. . 3 |- Xt_ = ( f e. _V |-> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) )
2		dmeq 4863	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> dom f = dom F )
3	2	fneq2d 5346	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( g Fn dom f <-> g Fn dom F ) )
4		fveq1 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f ` y ) = ( F ` y ) )
5	4	eleq2d 2263	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
6	2, 5	raleqbidv 2706	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) <-> A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) ) )
7	2	difeq1d 3277	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( dom f \ z ) = ( dom F \ z ) )
8	4	unieqd 3847	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = F -> U. ( f ` y ) = U. ( F ` y ) )
9	8	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
10	7, 9	raleqbidv 2706	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
11	10	rexbidv 2495	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ( E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) <-> E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) )
12	3, 6, 11	3anbi123d 1323	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) <-> ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) ) )
13	2	ixpeq1d 6766	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> X_ y e. dom f ( g ` y ) = X_ y e. dom F ( g ` y ) )
14	13	eqeq2d 2205	. . . . . . 7 |- ( f = F -> ( x = X_ y e. dom f ( g ` y ) <-> x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . . 6 |- ( f = F -> ( ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
16	15	exbidv 1836	. . . . 5 |- ( f = F -> ( E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) <-> E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
17	16	abbidv 2311	. . . 4 |- ( f = F -> { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } = { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } )
18	17	fveq2d 5559	. . 3 |- ( f = F -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom f /\ A. y e. dom f ( g ` y ) e. ( f ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom f \ z ) ( g ` y ) = U. ( f ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom f ( g ` y ) ) } ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) )
19		elex 2771	. . 3 |- ( F e. V -> F e. _V )
20		dmexg 4927	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> dom F e. _V )
21		vex 2763	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
22		vex 2763	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
23	21, 22	fvex 5575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g ` y ) e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. V -> ( g ` y ) e. _V )
25	24	ralrimivw 2568	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
26		ixpexgg 6778	. . . . . . . . . 10 |- ( ( dom F e. _V /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. _V ) -> X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
27	20, 25, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
28	27	ralrimivw 2568	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
29		dfiun2g 3945	. . . . . . . 8 |- ( A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) = U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) = U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
31		rnexg 4928	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
32	31	uniexd 4472	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
33		mapvalg 6714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( U. ran F ^m dom F ) = { g | g : dom F --> U. ran F } )
34		mapex 6710	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( dom F e. _V /\ U. ran F e. _V ) -> { g | g : dom F --> U. ran F } e. _V )
35	34	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> { g | g : dom F --> U. ran F } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ran F e. _V /\ dom F e. _V ) -> ( U. ran F ^m dom F ) e. _V )
37	32, 20, 36	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> ( U. ran F ^m dom F ) e. _V )
38		iunexg 6173	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U. ran F ^m dom F ) e. _V /\ A. g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V ) -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
39	37, 28, 38	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> U_ g e. ( U. ran F ^m dom F ) X_ y e. dom F ( g ` y ) e. _V )
40	30, 39	eqeltrrd 2271	. . . . . 6 |- ( F e. V -> U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
41		uniexb 4505	. . . . . 6 |- ( { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V <-> U. { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
42	40, 41	sylibr 134	. . . . 5 |- ( F e. V -> { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } e. _V )
43		simp1 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g Fn dom F )
44		fvssunirng 5570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. _V -> ( F ` y ) C_ U. ran F )
45	44	elv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F ` y ) C_ U. ran F
46	45	sseli 3176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> ( g ` y ) e. U. ran F )
47	46	ralimi 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F )
48	47	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F )
49		ffnfv 5717	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : dom F --> U. ran F <-> ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. U. ran F ) )
50	43, 48, 49	sylanbrc 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g : dom F --> U. ran F )
51	32, 20	elmapd 6718	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. V -> ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) <-> g : dom F --> U. ran F ) )
52	50, 51	imbitrrid 156	. . . . . . . . 9 |- ( F e. V -> ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) -> g e. ( U. ran F ^m dom F ) ) )
53	52	anim1d 336	. . . . . . . 8 |- ( F e. V -> ( ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
54	53	eximdv 1891	. . . . . . 7 |- ( F e. V -> ( E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> E. g ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) ) )
55		df-rex 2478	. . . . . . 7 |- ( E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) <-> E. g ( g e. ( U. ran F ^m dom F ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
56	54, 55	imbitrrdi 162	. . . . . 6 |- ( F e. V -> ( E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) -> E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) )
57	56	ss2abdv 3253	. . . . 5 |- ( F e. V -> { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } C_ { x | E. g e. ( U. ran F ^m dom F ) x = X_ y e. dom F ( g ` y ) } )
58	42, 57	ssexd 4170	. . . 4 |- ( F e. V -> { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } e. _V )
59		tgvalex 12877	. . . 4 |- ( { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } e. _V -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) e. _V )
60	58, 59	syl 14	. . 3 |- ( F e. V -> ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) e. _V )
61	1, 18, 19, 60	fvmptd3 5652	. 2 |- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { x | E. g ( ( g Fn dom F /\ A. y e. dom F ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( dom F \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. dom F ( g ` y ) ) } ) )
62	61, 60	eqeltrd 2270	1 |- ( F e. V -> ( Xt_ ` F ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   \ cdif 3151   C_ wss 3154   U.cuni 3836   U_ciun 3913   dom cdm 4660   ran crn 4661   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   ^m cmap 6704   X_cixp 6754   Fincfn 6796   topGenctg 12868   Xt_cpt 12869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-ixp 6755  df-topgen 12874  df-pt 12875

This theorem is referenced by:  prdsex  12883  psrval  14163  fnpsr  14164  psrbasg  14170  psrplusgg  14173