Theorem txbasex 15358

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txbasex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
2		eqid 2238	. . . 4 |- U. R = U. R
3		eqid 2238	. . . 4 |- U. S = U. S
4	1, 2, 3	txuni2 15357	. . 3 |- ( U. R X. U. S ) = U. B
5		uniexg 4585	. . . 4 |- ( R e. V -> U. R e. _V )
6		uniexg 4585	. . . 4 |- ( S e. W -> U. S e. _V )
7		xpexg 4889	. . . 4 |- ( ( U. R e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
9	4, 8	eqeltrrid 2326	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> U. B e. _V )
10		uniexb 4619	. 2 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
11	9, 10	sylibr 134	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   U.cuni 3935   X. cxp 4772   ran crn 4775   e. cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375

This theorem is used by:  txbas  15359  eltx  15360  txtopon  15363  txopn  15366  txss12  15367  txbasval  15368  txrest  15377