Theorem txbasex 12617

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txbasex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
2		eqid 2157	. . . 4 |- U. R = U. R
3		eqid 2157	. . . 4 |- U. S = U. S
4	1, 2, 3	txuni2 12616	. . 3 |- ( U. R X. U. S ) = U. B
5		uniexg 4398	. . . 4 |- ( R e. V -> U. R e. _V )
6		uniexg 4398	. . . 4 |- ( S e. W -> U. S e. _V )
7		xpexg 4697	. . . 4 |- ( ( U. R e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
8	5, 6, 7	syl2an 287	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
9	4, 8	eqeltrrid 2245	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> U. B e. _V )
10		uniexb 4431	. 2 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
11	9, 10	sylibr 133	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   U.cuni 3772   X. cxp 4581   ran crn 4584   e. cmpo 5820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083

This theorem is referenced by:  txbas  12618  eltx  12619  txtopon  12622  txopn  12625  txss12  12626  txbasval  12627  txrest  12636