Theorem txbasex 13796

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txbasex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
2		eqid 2177	. . . 4 |- U. R = U. R
3		eqid 2177	. . . 4 |- U. S = U. S
4	1, 2, 3	txuni2 13795	. . 3 |- ( U. R X. U. S ) = U. B
5		uniexg 4441	. . . 4 |- ( R e. V -> U. R e. _V )
6		uniexg 4441	. . . 4 |- ( S e. W -> U. S e. _V )
7		xpexg 4742	. . . 4 |- ( ( U. R e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
9	4, 8	eqeltrrid 2265	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> U. B e. _V )
10		uniexb 4475	. 2 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
11	9, 10	sylibr 134	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   U.cuni 3811   X. cxp 4626   ran crn 4629   e. cmpo 5879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144

This theorem is referenced by:  txbas  13797  eltx  13798  txtopon  13801  txopn  13804  txss12  13805  txbasval  13806  txrest  13815