Theorem txbasex 14234

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txbasex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
2		eqid 2189	. . . 4 |- U. R = U. R
3		eqid 2189	. . . 4 |- U. S = U. S
4	1, 2, 3	txuni2 14233	. . 3 |- ( U. R X. U. S ) = U. B
5		uniexg 4457	. . . 4 |- ( R e. V -> U. R e. _V )
6		uniexg 4457	. . . 4 |- ( S e. W -> U. S e. _V )
7		xpexg 4758	. . . 4 |- ( ( U. R e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
9	4, 8	eqeltrrid 2277	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> U. B e. _V )
10		uniexb 4491	. 2 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
11	9, 10	sylibr 134	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   U.cuni 3824   X. cxp 4642   ran crn 4645   e. cmpo 5899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167

This theorem is referenced by:  txbas  14235  eltx  14236  txtopon  14239  txopn  14242  txss12  14243  txbasval  14244  txrest  14253