ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  txbasex Unicode version

Theorem txbasex 13390
Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
txval.1  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
Assertion
Ref Expression
txbasex  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, y, R   
x, S, y
Allowed substitution hints:    B( x, y)    V( x, y)    W( x, y)

Proof of Theorem txbasex
StepHypRef Expression
1 txval.1 . . . 4  |-  B  =  ran  ( x  e.  R ,  y  e.  S  |->  ( x  X.  y ) )
2 eqid 2177 . . . 4  |-  U. R  =  U. R
3 eqid 2177 . . . 4  |-  U. S  =  U. S
41, 2, 3txuni2 13389 . . 3  |-  ( U. R  X.  U. S )  =  U. B
5 uniexg 4435 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  U. R  e.  _V )
6 uniexg 4435 . . . 4  |-  ( S  e.  W  ->  U. S  e.  _V )
7 xpexg 4736 . . . 4  |-  ( ( U. R  e.  _V  /\ 
U. S  e.  _V )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e. 
_V )
85, 6, 7syl2an 289 . . 3  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  ( U. R  X.  U. S )  e.  _V )
94, 8eqeltrrid 2265 . 2  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  U. B  e.  _V )
10 uniexb 4469 . 2  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
119, 10sylibr 134 1  |-  ( ( R  e.  V  /\  S  e.  W )  ->  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   _Vcvv 2737   U.cuni 3807    X. cxp 4620   ran crn 4623    e. cmpo 5870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135
This theorem is referenced by:  txbas  13391  eltx  13392  txtopon  13395  txopn  13398  txss12  13399  txbasval  13400  txrest  13409
  Copyright terms: Public domain W3C validator