Theorem txbasex 14577

Description: The basis for the product topology is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )

Assertion

Ref	Expression
txbasex	|- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem txbasex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		txval.1	. . . 4 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
2		eqid 2196	. . . 4 |- U. R = U. R
3		eqid 2196	. . . 4 |- U. S = U. S
4	1, 2, 3	txuni2 14576	. . 3 |- ( U. R X. U. S ) = U. B
5		uniexg 4475	. . . 4 |- ( R e. V -> U. R e. _V )
6		uniexg 4475	. . . 4 |- ( S e. W -> U. S e. _V )
7		xpexg 4778	. . . 4 |- ( ( U. R e. _V /\ U. S e. _V ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
8	5, 6, 7	syl2an 289	. . 3 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> ( U. R X. U. S ) e. _V )
9	4, 8	eqeltrrid 2284	. 2 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> U. B e. _V )
10		uniexb 4509	. 2 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
11	9, 10	sylibr 134	1 |- ( ( R e. V /\ S e. W ) -> B e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   U.cuni 3840   X. cxp 4662   ran crn 4665   e. cmpo 5927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208

This theorem is referenced by:  txbas  14578  eltx  14579  txtopon  14582  txopn  14585  txss12  14586  txbasval  14587  txrest  14596