Theorem imasnopn 14713

Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasnopn.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
imasnopn	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Proof of Theorem imasnopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1550	. . . 4 |- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) )
2		nfcv 2347	. . . 4 |- F/_ y ( R " { A } )
3		nfrab1 2685	. . . 4 |- F/_ y { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
4		txtop 14674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
6		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R e. ( J tX K ) )
7		eqid 2204	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
8	7	eltopss 14423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ R e. ( J tX K ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
9	5, 6, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
10		imasnopn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
11		eqid 2204	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. K = U. K
12	10, 11	txuni 14677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
14	9, 13	sseqtrrd 3231	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. U. K ) )
15		imass1 5056	. . . . . . . . . 10 |- ( R C_ ( X X. U. K ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
17		xpimasn 5130	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
18	17	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
19	16, 18	sseqtrd 3230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ U. K )
20	19	sseld 3191	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. U. K ) )
21	20	pm4.71rd 394	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) ) )
22		elimasng 5049	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
23	22	elvd 2776	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
24	23	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
25	24	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
26	21, 25	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
27		rabid 2681	. . . . 5 |- ( y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) )
29	1, 2, 3, 28	eqrd 3210	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } )
30		eqid 2204	. . . 4 |- ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) = ( y e. U. K |-> <. A , y >. )
31	30	mptpreima 5175	. . 3 |- ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
32	29, 31	eqtr4di 2255	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) )
33	11	toptopon 14432	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
34	33	biimpi 120	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
36	10	toptopon 14432	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
37	36	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
38	37	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> A e. X )
40	35, 38, 39	cnmptc 14696	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> A ) e. ( K Cn J ) )
41	35	cnmptid 14695	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> y ) e. ( K Cn K ) )
42	35, 40, 41	cnmpt1t 14699	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) )
43		cnima 14634	. . 3 |- ( ( ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R e. ( J tX K ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
44	42, 6, 43	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
45	32, 44	eqeltrd 2281	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   {crab 2487   _Vcvv 2771   C_ wss 3165   {csn 3632   <.cop 3635   U.cuni 3849   |-> cmpt 4104   X. cxp 4672   `'ccnv 4673   "cima 4677   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   Topctop 14411  TopOnctopon 14424   Cn ccn 14599   tX ctx 14666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-map 6736  df-topgen 13034  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-tx 14667

This theorem is referenced by: (None)