Theorem imasnopn 12310

Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasnopn.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
imasnopn	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Proof of Theorem imasnopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1491	. . . 4 |- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) )
2		nfcv 2255	. . . 4 |- F/_ y ( R " { A } )
3		nfrab1 2584	. . . 4 |- F/_ y { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
4		txtop 12271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
5	4	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
6		simprl 503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R e. ( J tX K ) )
7		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
8	7	eltopss 12019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ R e. ( J tX K ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
9	5, 6, 8	syl2anc 406	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
10		imasnopn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
11		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. K = U. K
12	10, 11	txuni 12274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
13	12	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
14	9, 13	sseqtr4d 3102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. U. K ) )
15		imass1 4872	. . . . . . . . . 10 |- ( R C_ ( X X. U. K ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
17		xpimasn 4945	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
18	17	ad2antll 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
19	16, 18	sseqtrd 3101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ U. K )
20	19	sseld 3062	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. U. K ) )
21	20	pm4.71rd 389	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) ) )
22		elimasng 4865	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
23	22	elvd 2662	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
24	23	ad2antll 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
25	24	anbi2d 457	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
26	21, 25	bitrd 187	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
27		rabid 2580	. . . . 5 |- ( y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) )
28	26, 27	syl6bbr 197	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) )
29	1, 2, 3, 28	eqrd 3081	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } )
30		eqid 2115	. . . 4 |- ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) = ( y e. U. K |-> <. A , y >. )
31	30	mptpreima 4990	. . 3 |- ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
32	29, 31	syl6eqr 2165	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) )
33	11	toptopon 12028	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
34	33	biimpi 119	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	34	ad2antlr 478	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
36	10	toptopon 12028	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
37	36	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
38	37	ad2antrr 477	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39		simprr 504	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> A e. X )
40	35, 38, 39	cnmptc 12293	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> A ) e. ( K Cn J ) )
41	35	cnmptid 12292	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> y ) e. ( K Cn K ) )
42	35, 40, 41	cnmpt1t 12296	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) )
43		cnima 12231	. . 3 |- ( ( ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R e. ( J tX K ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
44	42, 6, 43	syl2anc 406	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
45	32, 44	eqeltrd 2191	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1314   e. wcel 1463   {crab 2394   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   {csn 3493   <.cop 3496   U.cuni 3702   |-> cmpt 3949   X. cxp 4497   `'ccnv 4498   "cima 4502   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   Topctop 12007  TopOnctopon 12020   Cn ccn 12197   tX ctx 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cn 12200  df-cnp 12201  df-tx 12264

This theorem is referenced by: (None)