Theorem imasnopn 15323

Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasnopn.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
imasnopn	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Proof of Theorem imasnopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. . . 4 |- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) )
2		nfcv 2392	. . . 4 |- F/_ y ( R " { A } )
3		nfrab1 2732	. . . 4 |- F/_ y { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
4		txtop 15284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
6		simprl 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R e. ( J tX K ) )
7		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
8	7	eltopss 15033	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ R e. ( J tX K ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
9	5, 6, 8	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
10		imasnopn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
11		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. K = U. K
12	10, 11	txuni 15287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
14	9, 13	sseqtrrd 3287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. U. K ) )
15		imass1 5157	. . . . . . . . . 10 |- ( R C_ ( X X. U. K ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
17		xpimasn 5231	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
18	17	ad2antll 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
19	16, 18	sseqtrd 3286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ U. K )
20	19	sseld 3247	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. U. K ) )
21	20	pm4.71rd 398	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) ) )
22		elimasng 5150	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
23	22	elvd 2826	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
24	23	ad2antll 495	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
25	24	anbi2d 468	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
26	21, 25	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
27		rabid 2727	. . . . 5 |- ( y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) )
29	1, 2, 3, 28	eqrd 3266	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } )
30		eqid 2238	. . . 4 |- ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) = ( y e. U. K |-> <. A , y >. )
31	30	mptpreima 5276	. . 3 |- ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
32	29, 31	eqtr4di 2289	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) )
33	11	toptopon 15042	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
34	33	biimpi 120	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	34	ad2antlr 493	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
36	10	toptopon 15042	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
37	36	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
38	37	ad2antrr 492	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39		simprr 537	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> A e. X )
40	35, 38, 39	cnmptc 15306	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> A ) e. ( K Cn J ) )
41	35	cnmptid 15305	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> y ) e. ( K Cn K ) )
42	35, 40, 41	cnmpt1t 15309	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) )
43		cnima 15244	. . 3 |- ( ( ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R e. ( J tX K ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
44	42, 6, 43	syl2anc 415	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
45	32, 44	eqeltrd 2315	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3705   <.cop 3708   U.cuni 3930   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   "cima 4772   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Topctop 15021  TopOnctopon 15034   Cn ccn 15209   tX ctx 15276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-topgen 13591  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277

This theorem is referenced by: (None)