Theorem imasnopn 13884

Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of Proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
imasnopn.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
imasnopn	|- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Proof of Theorem imasnopn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. . . 4 |- F/ y ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) )
2		nfcv 2319	. . . 4 |- F/_ y ( R " { A } )
3		nfrab1 2657	. . . 4 |- F/_ y { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
4		txtop 13845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( J tX K ) e. Top )
5	4	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( J tX K ) e. Top )
6		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R e. ( J tX K ) )
7		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( J tX K ) = U. ( J tX K )
8	7	eltopss 13594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J tX K ) e. Top /\ R e. ( J tX K ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
9	5, 6, 8	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ U. ( J tX K ) )
10		imasnopn.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = U. J
11		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. K = U. K
12	10, 11	txuni 13848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( X X. U. K ) = U. ( J tX K ) )
14	9, 13	sseqtrrd 3196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> R C_ ( X X. U. K ) )
15		imass1 5005	. . . . . . . . . 10 |- ( R C_ ( X X. U. K ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ ( ( X X. U. K ) " { A } ) )
17		xpimasn 5079	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. X -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
18	17	ad2antll 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( X X. U. K ) " { A } ) = U. K )
19	16, 18	sseqtrd 3195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) C_ U. K )
20	19	sseld 3156	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) -> y e. U. K ) )
21	20	pm4.71rd 394	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) ) )
22		elimasng 4998	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. X /\ y e. _V ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
23	22	elvd 2744	. . . . . . . 8 |- ( A e. X -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
24	23	ad2antll 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> <. A , y >. e. R ) )
25	24	anbi2d 464	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( ( y e. U. K /\ y e. ( R " { A } ) ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
26	21, 25	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) ) )
27		rabid 2653	. . . . 5 |- ( y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } <-> ( y e. U. K /\ <. A , y >. e. R ) )
28	26, 27	bitr4di 198	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. ( R " { A } ) <-> y e. { y e. U. K | <. A , y >. e. R } ) )
29	1, 2, 3, 28	eqrd 3175	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R } )
30		eqid 2177	. . . 4 |- ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) = ( y e. U. K |-> <. A , y >. )
31	30	mptpreima 5124	. . 3 |- ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) = { y e. U. K | <. A , y >. e. R }
32	29, 31	eqtr4di 2228	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) = ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) )
33	11	toptopon 13603	. . . . . 6 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
34	33	biimpi 120	. . . . 5 |- ( K e. Top -> K e. (TopOn ` U. K ) )
35	34	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
36	10	toptopon 13603	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
37	36	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( J e. Top -> J e. (TopOn ` X ) )
38	37	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
39		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> A e. X )
40	35, 38, 39	cnmptc 13867	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> A ) e. ( K Cn J ) )
41	35	cnmptid 13866	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> y ) e. ( K Cn K ) )
42	35, 40, 41	cnmpt1t 13870	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) )
43		cnima 13805	. . 3 |- ( ( ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) e. ( K Cn ( J tX K ) ) /\ R e. ( J tX K ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
44	42, 6, 43	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( `' ( y e. U. K |-> <. A , y >. ) " R ) e. K )
45	32, 44	eqeltrd 2254	1 |- ( ( ( J e. Top /\ K e. Top ) /\ ( R e. ( J tX K ) /\ A e. X ) ) -> ( R " { A } ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   {csn 3594   <.cop 3597   U.cuni 3811   |-> cmpt 4066   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   "cima 4631   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Topctop 13582  TopOnctopon 13595   Cn ccn 13770   tX ctx 13837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-map 6652  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838

This theorem is referenced by: (None)