Theorem xpimasn 5052

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = 𝐵)

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3694	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑋})
2		snssi 3717	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
3		dfss1 3326	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑋}) = {𝑋})
4	2, 3	sylib 121	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑋}) = {𝑋})
5	4	eleq2d 2236	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑋}))
6	5	exbidv 1813	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑋}))
7	1, 6	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}))
8		xpima2m 5051	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}) → ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = 𝐵)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  {csn 3576   × cxp 4602   “ cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  imasnopn  12939