Theorem xpimasn 5119

Description: The image of a singleton by a cross product. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpimasn	⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = 𝐵)

Proof of Theorem xpimasn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snmg 3741	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑋})
2		snssi 3767	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → {𝑋} ⊆ 𝐴)
3		dfss1 3368	. . . . . 6 ⊢ ({𝑋} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ {𝑋}) = {𝑋})
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑋}) = {𝑋})
5	4	eleq2d 2266	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}) ↔ 𝑥 ∈ {𝑋}))
6	5	exbidv 1839	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}) ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑋}))
7	1, 6	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}))
8		xpima2m 5118	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ {𝑋}) → ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = 𝐵)
9	7, 8	syl 14	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × 𝐵) “ {𝑋}) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  {csn 3623   × cxp 4662   “ cima 4667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677

This theorem is referenced by:  imasnopn  14619