Theorem xpmlem 5050

Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpmlem	|- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem xpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1932	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
2		vex 2741	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2741	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opex 4230	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
5		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
6		opelxp 4657	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
7	5, 6	bitrdi 196	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
8	4, 7	spcev 2833	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
9	8	exlimivv 1896	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
10	1, 9	sylbir 135	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
11		elxp 4644	. . . . 5 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
12		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
13	12	2eximi 1601	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
14	11, 13	sylbi 121	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
15	14	exlimiv 1598	. . 3 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
16	15, 1	sylib 122	. 2 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
17	10, 16	impbii 126	1 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   <.cop 3596   X. cxp 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-opab 4066  df-xp 4633

This theorem is referenced by:  xpm  5051