Theorem xpmlem 5024

Description: The cross product of inhabited classes is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
xpmlem	|- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, y, z

Proof of Theorem xpmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eeanv 1920	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
2		vex 2729	. . . . . 6 |- x e. _V
3		vex 2729	. . . . . 6 |- y e. _V
4	2, 3	opex 4207	. . . . 5 |- <. x , y >. e. _V
5		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> <. x , y >. e. ( A X. B ) ) )
6		opelxp 4634	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) )
7	5, 6	bitrdi 195	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. ( A X. B ) <-> ( x e. A /\ y e. B ) ) )
8	4, 7	spcev 2821	. . . 4 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
9	8	exlimivv 1884	. . 3 |- ( E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
10	1, 9	sylbir 134	. 2 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) -> E. z z e. ( A X. B ) )
11		elxp 4621	. . . . 5 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) )
12		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
13	12	2eximi 1589	. . . . 5 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
14	11, 13	sylbi 120	. . . 4 |- ( z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
15	14	exlimiv 1586	. . 3 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> E. x E. y ( x e. A /\ y e. B ) )
16	15, 1	sylib 121	. 2 |- ( E. z z e. ( A X. B ) -> ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) )
17	10, 16	impbii 125	1 |- ( ( E. x x e. A /\ E. y y e. B ) <-> E. z z e. ( A X. B ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   <.cop 3579   X. cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-opab 4044  df-xp 4610

This theorem is referenced by:  xpm  5025