Theorem elin2d 3419

Description: Elementhood in the first set of an intersection - deduction version. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
elin1d.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
elin2d	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem elin2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
2		elinel2 3416	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∩ cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  elfi2  7311  fiuni  7317  fifo  7319  sshashneg  11302  hashfibclem  11303  explecnv  12296  bitsinv1  12753  ballotfilemfmpn  13291  nninfdclemp1  13398  idomdomd  14694  sralmod  14895  2idlridld  14952  restbasg  15411  txcnp  15514  blin2  15675  ppiqsval  16257  chtqcl  16261  chtqval  16262  efchtqcl  16263  chtqge0  16264  ppinprm  16277  chtprm  16278  chtnprm  16279  chtqwordi  16280  chtdif  16281  efchtqdvds  16282  chtqleppi  16311  bj-charfun  17055  bj-charfundc  17056