Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-charfun GIF version
Theorem bj-charfun 14598
Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
bj-charfun.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…)))
Assertion
Ref Expression
bj-charfun (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ’« 1o ∧ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))⟢2o) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = 1o ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…)))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹
Proof of Theorem bj-charfun
StepHypRef Expression
1 bj-charfun.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…)))
2 fmelpw1o 14597 . . . 4 if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) ∈ 𝒫 1o
32a1i 9 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) ∈ 𝒫 1o)
41, 3fmpt3d 5674 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆπ’« 1o)
5 inss1 3357 . . . . 5 (𝑋 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑋
65a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ 𝐴) βŠ† 𝑋)
7 difssd 3264 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– 𝐴) βŠ† 𝑋)
86, 7unssd 3313 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴)) βŠ† 𝑋)
9 elun 3278 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)))
10 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
1110elin1d 3326 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
121adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…)))
13 1oex 6427 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
14 0ex 4132 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ V
1513, 14ifelpwun 4485 . . . . . . . . . . . 12 if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) ∈ 𝒫 (1o βˆͺ βˆ…)
1615a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) ∈ 𝒫 (1o βˆͺ βˆ…))
1712, 16fvmpt2d 5604 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…))
1811, 17mpdan 421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…))
1910elin2d 3327 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
2019iftrued 3543 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) = 1o)
2118, 20eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1o)
22 1lt2o 6445 . . . . . . . 8 1o ∈ 2o
2321, 22eqeltrdi 2268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o)
2423ex 115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o))
25 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴))
2625eldifad 3142 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
271adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…)))
2815a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) ∈ 𝒫 (1o βˆͺ βˆ…))
2927, 28fvmpt2d 5604 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…))
3026, 29mpdan 421 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…))
3125eldifbd 3143 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ 𝐴)
3231iffalsed 3546 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝐴, 1o, βˆ…) = βˆ…)
3330, 32eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…)
34 0lt2o 6444 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ 2o
3533, 34eqeltrdi 2268 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o)
3635ex 115 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o))
3724, 36jaod 717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o))
389, 37biimtrid 152 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o))
3938imp 124 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 2o)
404, 8, 39resflem 5682 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))⟢2o)
4121ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = 1o)
4233ralrimiva 2550 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…)
4341, 42jca 306 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = 1o ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…))
444, 40, 43jca31 309 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹:π‘‹βŸΆπ’« 1o ∧ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) βˆͺ (𝑋 βˆ– 𝐴))⟢2o) ∧ (βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = 1o ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (𝑋 βˆ– 𝐴)(πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455   βˆ– cdif 3128   βˆͺ cun 3129   ∩ cin 3130   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  ifcif 3536  π’« cpw 3577   ↦ cmpt 4066   β†Ύ cres 4630  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  1oc1o 6412  2oc2o 6413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-1o 6419  df-2o 6420
This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  14600
  Copyright terms: Public domain W3C validator