Theorem bj-charfun 16747

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		fmelpw1o 7596	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o)
4	1, 3	fmpt3d 5855	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 1o)
5		inss1 3451	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
7		difssd 3356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	unssd 3405	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ⊆ 𝑋)
9		elun 3370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)))
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
11	10	elin1d 3418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
13		1oex 6685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
14		0ex 4255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
15	13, 14	ifelpwun 4624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅)
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
17	12, 16	fvmpt2d 5786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
18	11, 17	mpdan 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
19	10	elin2d 3419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	iftrued 3644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
21	18, 20	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
22		1lt2o 6705	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
24	23	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifad 3231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
29	27, 28	fvmpt2d 5786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
30	26, 29	mpdan 425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
31	25	eldifbd 3232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 3647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
33	30, 32	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
34		0lt2o 6704	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
37	24, 36	jaod 729	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
39	38	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
40	4, 8, 39	resflem 5863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o)
41	21	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
42	33	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
43	41, 42	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅))
44	4, 40, 43	jca31 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3635  𝒫 cpw 3685   ↦ cmpt 4187   ↾ cres 4771  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-1o 6677  df-2o 6678

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  16749