Mathbox for BJ < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-charfun GIF version

Theorem bj-charfun 13341
 Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
bj-charfun.1 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
Assertion
Ref Expression
bj-charfun (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))):((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem bj-charfun
StepHypRef Expression
1 bj-charfun.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
2 fmelpw1o 13340 . . . 4 if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o
32a1i 9 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o)
41, 3fmpt3d 5620 . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶𝒫 1o)
5 inss1 3327 . . . . 5 (𝑋𝐴) ⊆ 𝑋
65a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐴) ⊆ 𝑋)
7 difssd 3234 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐴) ⊆ 𝑋)
86, 7unssd 3283 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴)) ⊆ 𝑋)
9 elun 3248 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋𝐴)))
10 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐴))
1110elin1d 3296 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥𝑋)
121adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
13 1oex 6365 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
14 0ex 4091 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1513, 14ifelpwun 4441 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅)
1615a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
1712, 16fvmpt2d 5551 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
1811, 17mpdan 418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
1910elin2d 3297 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥𝐴)
2019iftrued 3512 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) = 1o)
2118, 20eqtrd 2190 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = 1o)
22 1lt2o 6383 . . . . . . . 8 1o ∈ 2o
2321, 22eqeltrdi 2248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
2423ex 114 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
25 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐴))
2625eldifad 3113 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥𝑋)
271adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
2815a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
2927, 28fvmpt2d 5551 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
3026, 29mpdan 418 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
3125eldifbd 3114 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
3231iffalsed 3515 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) = ∅)
3330, 32eqtrd 2190 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = ∅)
34 0lt2o 6382 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2o
3533, 34eqeltrdi 2248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
3635ex 114 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
3724, 36jaod 707 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
389, 37syl5bi 151 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
3938imp 123 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
404, 8, 39resflem 5628 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))):((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))⟶2o)
4121ralrimiva 2530 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o)
4233ralrimiva 2530 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅)
4341, 42jca 304 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅))
444, 40, 43jca31 307 1 (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))):((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ∖ cdif 3099   ∪ cun 3100   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  ifcif 3505  𝒫 cpw 3543   ↦ cmpt 4025   ↾ cres 4585  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  1oc1o 6350  2oc2o 6351 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-1o 6357  df-2o 6358 This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  13343
 Copyright terms: Public domain W3C validator