Theorem bj-charfun 13689

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		fmelpw1o 13688	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o)
4	1, 3	fmpt3d 5641	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 1o)
5		inss1 3342	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
7		difssd 3249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	unssd 3298	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ⊆ 𝑋)
9		elun 3263	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)))
10		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
11	10	elin1d 3311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
12	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
13		1oex 6392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
14		0ex 4109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
15	13, 14	ifelpwun 4461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅)
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
17	12, 16	fvmpt2d 5572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
18	11, 17	mpdan 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
19	10	elin2d 3312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	iftrued 3527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
21	18, 20	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
22		1lt2o 6410	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
24	23	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
25		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifad 3127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
29	27, 28	fvmpt2d 5572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
30	26, 29	mpdan 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
31	25	eldifbd 3128	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 3530	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
33	30, 32	eqtrd 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
34		0lt2o 6409	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
36	35	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
37	24, 36	jaod 707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
38	9, 37	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
39	38	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
40	4, 8, 39	resflem 5649	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o)
41	21	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
42	33	ralrimiva 2539	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
43	41, 42	jca 304	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅))
44	4, 40, 43	jca31 307	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  ifcif 3520  𝒫 cpw 3559   ↦ cmpt 4043   ↾ cres 4606  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  13691