Theorem bj-charfun 15063

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		fmelpw1o 15062	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o)
4	1, 3	fmpt3d 5696	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 1o)
5		inss1 3370	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
7		difssd 3277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	unssd 3326	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ⊆ 𝑋)
9		elun 3291	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)))
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
11	10	elin1d 3339	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
12	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
13		1oex 6453	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
14		0ex 4148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
15	13, 14	ifelpwun 4504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅)
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
17	12, 16	fvmpt2d 5626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
18	11, 17	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
19	10	elin2d 3340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	iftrued 3556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
21	18, 20	eqtrd 2222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
22		1lt2o 6471	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
24	23	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifad 3155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	1	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
29	27, 28	fvmpt2d 5626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
30	26, 29	mpdan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
31	25	eldifbd 3156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 3559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
33	30, 32	eqtrd 2222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
34		0lt2o 6470	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
36	35	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
37	24, 36	jaod 718	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
38	9, 37	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
39	38	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
40	4, 8, 39	resflem 5704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o)
41	21	ralrimiva 2563	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
42	33	ralrimiva 2563	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
43	41, 42	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅))
44	4, 40, 43	jca31 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468   ∖ cdif 3141   ∪ cun 3142   ∩ cin 3143   ⊆ wss 3144  ∅c0 3437  ifcif 3549  𝒫 cpw 3593   ↦ cmpt 4082   ↾ cres 4649  ⟶wf 5234  ‘cfv 5238  1_oc1o 6438  2_oc2o 6439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-1o 6445  df-2o 6446

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  15065