Theorem bj-charfun 13342

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-charfun.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))

Assertion

Ref	Expression
bj-charfun	⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem bj-charfun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfun.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		fmelpw1o 13341	. . . 4 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o)
4	1, 3	fmpt3d 5620	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝒫 1o)
5		inss1 3327	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
7		difssd 3234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	unssd 3283	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ⊆ 𝑋)
9		elun 3248	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)))
10		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
11	10	elin1d 3296	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
12	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
13		1oex 6365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o ∈ V
14		0ex 4091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
15	13, 14	ifelpwun 4441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅)
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
17	12, 16	fvmpt2d 5551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
18	11, 17	mpdan 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
19	10	elin2d 3297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
20	19	iftrued 3512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
21	18, 20	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
22		1lt2o 6383	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
23	21, 22	eqeltrdi 2248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
24	23	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
25		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifad 3113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	1	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
28	15	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
29	27, 28	fvmpt2d 5551	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
30	26, 29	mpdan 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
31	25	eldifbd 3114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
32	31	iffalsed 3515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
33	30, 32	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
34		0lt2o 6382	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
35	33, 34	eqeltrdi 2248	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
36	35	ex 114	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
37	24, 36	jaod 707	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
38	9, 37	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o))
39	38	imp 123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
40	4, 8, 39	resflem 5628	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o)
41	21	ralrimiva 2530	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
42	33	ralrimiva 2530	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
43	41, 42	jca 304	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅))
44	4, 40, 43	jca31 307	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))):((𝑋 ∩ 𝐴) ∪ (𝑋 ∖ 𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435   ∖ cdif 3099   ∪ cun 3100   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  ifcif 3505  𝒫 cpw 3543   ↦ cmpt 4025   ↾ cres 4585  ⟶wf 5163  ‘cfv 5167  1_oc1o 6350  2_oc2o 6351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-1o 6357  df-2o 6358

This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  13344