Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-charfun GIF version

Theorem bj-charfun 15299
Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴. (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
bj-charfun.1 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
Assertion
Ref Expression
bj-charfun (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))):((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅)))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem bj-charfun
StepHypRef Expression
1 bj-charfun.1 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
2 fmelpw1o 15298 . . . 4 if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o
32a1i 9 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 1o)
41, 3fmpt3d 5714 . 2 (𝜑𝐹:𝑋⟶𝒫 1o)
5 inss1 3379 . . . . 5 (𝑋𝐴) ⊆ 𝑋
65a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐴) ⊆ 𝑋)
7 difssd 3286 . . . 4 (𝜑 → (𝑋𝐴) ⊆ 𝑋)
86, 7unssd 3335 . . 3 (𝜑 → ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴)) ⊆ 𝑋)
9 elun 3300 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋𝐴)))
10 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐴))
1110elin1d 3348 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥𝑋)
121adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
13 1oex 6477 . . . . . . . . . . . . 13 1o ∈ V
14 0ex 4156 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1513, 14ifelpwun 4514 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅)
1615a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
1712, 16fvmpt2d 5644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
1811, 17mpdan 421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
1910elin2d 3349 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥𝐴)
2019iftrued 3564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) = 1o)
2118, 20eqtrd 2226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = 1o)
22 1lt2o 6495 . . . . . . . 8 1o ∈ 2o
2321, 22eqeltrdi 2284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
2423ex 115 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
25 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋𝐴))
2625eldifad 3164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝑥𝑋)
271adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ if(𝑥𝐴, 1o, ∅)))
2815a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) ∈ 𝒫 (1o ∪ ∅))
2927, 28fvmpt2d 5644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) ∧ 𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
3026, 29mpdan 421 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = if(𝑥𝐴, 1o, ∅))
3125eldifbd 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → ¬ 𝑥𝐴)
3231iffalsed 3567 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → if(𝑥𝐴, 1o, ∅) = ∅)
3330, 32eqtrd 2226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) = ∅)
34 0lt2o 6494 . . . . . . . 8 ∅ ∈ 2o
3533, 34eqeltrdi 2284 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
3635ex 115 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
3724, 36jaod 718 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝑋𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
389, 37biimtrid 152 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴)) → (𝐹𝑥) ∈ 2o))
3938imp 124 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
404, 8, 39resflem 5722 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))):((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))⟶2o)
4121ralrimiva 2567 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o)
4233ralrimiva 2567 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅)
4341, 42jca 306 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅))
444, 40, 43jca31 309 1 (𝜑 → ((𝐹:𝑋⟶𝒫 1o ∧ (𝐹 ↾ ((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))):((𝑋𝐴) ∪ (𝑋𝐴))⟶2o) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐴)(𝐹𝑥) = ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wo 709   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  cdif 3150  cun 3151  cin 3152  wss 3153  c0 3446  ifcif 3557  𝒫 cpw 3601  cmpt 4090  cres 4661  wf 5250  cfv 5254  1oc1o 6462  2oc2o 6463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-1o 6469  df-2o 6470
This theorem is referenced by:  bj-charfundcALT  15301
  Copyright terms: Public domain W3C validator