Theorem explecnv 12297

Description: A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number 𝐴 whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
explecnv.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
explecnv.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
explecnv.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
explecnv.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
explecnv.4	⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
explecnv.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
explecnv.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))

Assertion

Ref	Expression
explecnv	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝑘,𝑀

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem explecnv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))
2		0z 9666	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		explecnv.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		0zd 9667	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
5		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
6		zdcle 9732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 0)
7	6	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 ≤ 0)
8	4, 5, 7	ifcldcd 3678	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
9	2, 3, 8	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀) ∈ ℤ)
10		explecnv.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	recnd 8360	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
12		explecnv.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) < 1)
13	11, 12	expcnv 12296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
14		zex 9664	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
15		explecnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
16		uzssz 9958	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
17	15, 16	eqsstri 3280	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ ℤ
18	14, 17	ssexi 4273	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
19	18	mptex 5946	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V
20	19	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ∈ V)
21		nn0uz 9973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
22	15, 21	ineq12i 3430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∩ ℕ0) = ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0))
23		uzin 9971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
24	3, 2, 23	sylancl 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑀) ∩ (ℤ≥‘0)) = (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)))
25	22, 24	eqtr2id 2284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) = (𝑍 ∩ ℕ0))
26	25	eleq2d 2308	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0)))
27	26	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ ℕ0))
28	27	elin2d 3419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
29	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29, 28	expcld 11132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
31		oveq2 6096	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
32		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
33	31, 32	fvmptg 5784	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
34	28, 30, 33	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
35	10	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	35, 28	reexpcld 11149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
37	34, 36	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
38	27	elin1d 3418	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
39		explecnv.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
40	38, 39	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41	40	abscld 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
42		2fveq3 5703	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐹‘𝑛)) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
43		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))
44	42, 43	fvmptg 5784	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
45	38, 41, 44	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
46	45, 41	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
47		explecnv.7	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
48	38, 47	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ≤ (𝐴↑𝑘))
49	48, 45, 34	3brtr4d 4163	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
50	40	absge0d 11973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑘)))
51	50, 45	breqtrrd 4159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 0, 0, 𝑀))) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘))
52	1, 9, 13, 20, 37, 46, 49, 51	climsqz2 12127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0)
53		explecnv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
54		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝑘 ∈ 𝑍)
55	39	abscld 11970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
56	54, 55, 44	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛)))‘𝑘) = (abs‘(𝐹‘𝑘)))
57	15, 3, 53, 20, 39, 56	climabs0 12098	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (abs‘(𝐹‘𝑛))) ⇝ 0))
58	52, 57	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⇝ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ifcif 3638   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ↑cexp 10996  abscabs 11785   ⇝ cli 12069

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070

This theorem is used by: (None)