Theorem bj-charfundc 17039

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴, provided membership in 𝐴 is decidable in 𝑋. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-charfundc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
bj-charfundc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
bj-charfundc	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem bj-charfundc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfundc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		1lt2o 6719	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1o ∈ 2o)
4		0lt2o 6718	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ 2o)
6		bj-charfundc.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	r19.21bi 2638	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
8	3, 5, 7	ifcldcd 3678	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 2o)
9	1, 8	fmpt3d 5867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶2o)
10		inss1 3451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
12	11	sseld 3247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	imdistani 449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	1, 8	fvmpt2d 5795	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
16		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
17	16	elin2d 3419	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	iftrued 3647	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
19	15, 18	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
20	19	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
21		difssd 3356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
22	21	sseld 3247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
23	22	imdistani 449	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
24	23, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifbd 3232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
28	24, 27	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
29	28	ralrimiva 2623	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	9, 20, 29	jca32 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638   ↦ cmpt 4193  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-1o 6691  df-2o 6692

This theorem is used by:  bj-charfunbi  17042