Theorem bj-charfundc 15370

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴, provided membership in 𝐴 is decidable in 𝑋. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-charfundc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
bj-charfundc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
bj-charfundc	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem bj-charfundc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfundc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		1lt2o 6497	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1o ∈ 2o)
4		0lt2o 6496	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ 2o)
6		bj-charfundc.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	r19.21bi 2582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
8	3, 5, 7	ifcldcd 3594	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 2o)
9	1, 8	fmpt3d 5715	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶2o)
10		inss1 3380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
12	11	sseld 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	imdistani 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	1, 8	fvmpt2d 5645	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
16		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
17	16	elin2d 3350	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	iftrued 3565	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
19	15, 18	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
20	19	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
21		difssd 3287	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
22	21	sseld 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
23	22	imdistani 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
24	23, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifbd 3166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26	iffalsed 3568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
28	24, 27	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
29	28	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	9, 20, 29	jca32 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ∖ cdif 3151   ∩ cin 3153   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447  ifcif 3558   ↦ cmpt 4091  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-1o 6471  df-2o 6472

This theorem is referenced by:  bj-charfunbi  15373