Theorem bj-charfundc 16507

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴, provided membership in 𝐴 is decidable in 𝑋. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-charfundc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
bj-charfundc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
bj-charfundc	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem bj-charfundc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfundc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		1lt2o 6653	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1o ∈ 2o)
4		0lt2o 6652	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ 2o)
6		bj-charfundc.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	r19.21bi 2621	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
8	3, 5, 7	ifcldcd 3647	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 2o)
9	1, 8	fmpt3d 5811	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶2o)
10		inss1 3429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
12	11	sseld 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	imdistani 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	1, 8	fvmpt2d 5742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
16		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
17	16	elin2d 3399	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	iftrued 3616	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
19	15, 18	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
20	19	ralrimiva 2606	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
21		difssd 3336	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
22	21	sseld 3227	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
23	22	imdistani 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
24	23, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifbd 3213	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26	iffalsed 3619	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
28	24, 27	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
29	28	ralrimiva 2606	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	9, 20, 29	jca32 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ∖ cdif 3198   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  ifcif 3607   ↦ cmpt 4155  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-1o 6625  df-2o 6626

This theorem is referenced by:  bj-charfunbi  16510