Theorem bj-charfundc 16339

Description: Properties of the characteristic function on the class 𝑋 of the class 𝐴, provided membership in 𝐴 is decidable in 𝑋. (Contributed by BJ, 6-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
bj-charfundc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
bj-charfundc.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
bj-charfundc	⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem bj-charfundc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-charfundc.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅)))
2		1lt2o 6605	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ 2o
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1o ∈ 2o)
4		0lt2o 6604	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∅ ∈ 2o)
6		bj-charfundc.dc	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
7	6	r19.21bi 2618	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
8	3, 5, 7	ifcldcd 3641	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) ∈ 2o)
9	1, 8	fmpt3d 5799	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶2o)
10		inss1 3425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ 𝐴) ⊆ 𝑋)
12	11	sseld 3224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
13	12	imdistani 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	1, 8	fvmpt2d 5729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
15	13, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
16		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴))
17	16	elin2d 3395	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18	17	iftrued 3610	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = 1o)
19	15, 18	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = 1o)
20	19	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o)
21		difssd 3332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑋)
22	21	sseld 3224	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑋))
23	22	imdistani 445	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
24	23, 14	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅))
25		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴))
26	25	eldifbd 3210	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
27	26	iffalsed 3613	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 1o, ∅) = ∅)
28	24, 27	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)) → (𝐹‘𝑥) = ∅)
29	28	ralrimiva 2603	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)
30	9, 20, 29	jca32 310	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶2o ∧ (∀𝑥 ∈ (𝑋 ∩ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = 1o ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∖ 𝐴)(𝐹‘𝑥) = ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ∖ cdif 3195   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  ifcif 3603   ↦ cmpt 4148  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  1_oc1o 6570  2_oc2o 6571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-1o 6577  df-2o 6578

This theorem is referenced by:  bj-charfunbi  16342