Theorem elfi2 7258

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2824	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V))
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 = ∩ 𝑥)
4		eldifsni 3821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
6		eldifi 3340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7	6	elin2d 3408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
9		fin0 7141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥))
11	5, 10	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
12		inteximm 4260	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ V)
14	3, 13	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
15	14	rexlimiva 2655	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥 → 𝐴 ∈ V))
17		elfi 7257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))
18		vprc 4241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ V ∈ V
19		elsni 3706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
20	19	inteqd 3953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
21		int0 3962	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∩ ∅ = V
22	20, 21	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → ∩ 𝑥 = V)
23	22	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (∩ 𝑥 ∈ V ↔ V ∈ V))
24	18, 23	mtbiri 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → ¬ ∩ 𝑥 ∈ V)
25		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 = ∩ 𝑥)
26		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
27	25, 26	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ V)
28	24, 27	nsyl3 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {∅})
29	28	biantrud 304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅})))
30		eldif 3219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅}))
31	29, 30	bitr4di 198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
32	31	pm5.32da 452	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ↔ (𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
33		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) ↔ (𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)))
34		ancom 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) ↔ (𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
35	32, 33, 34	3bitr4g 223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥)))
36	35	rexbidv2 2545	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))
37	17, 36	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))
38	37	expcom 116	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥)))
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 713	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  ∃wrex 2521  Vcvv 2812   ∖ cdif 3207   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  𝒫 cpw 3668  {csn 3688  ∩ cint 3948  ‘cfv 5351  Fincfn 6974  ficfi 7254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-er 6766  df-en 6975  df-fin 6977  df-fi 7255

This theorem is referenced by:  fiuni  7264  fifo  7266