Theorem elfi2 6917

Description: The empty intersection need not be considered in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfi2	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem elfi2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2723	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V)
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) → 𝐴 ∈ V))
3		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 = ∩ 𝑥)
4		eldifsni 3689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ≠ ∅)
5	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
6		eldifi 3229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin))
7	6	elin2d 3297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ Fin)
8	7	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
9		fin0 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥))
10	8, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥))
11	5, 10	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
12		inteximm 4111	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 → ∩ 𝑥 ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ V)
14	3, 13	eqeltrd 2234	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
15	14	rexlimiva 2569	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
16	15	a1i 9	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥 → 𝐴 ∈ V))
17		elfi 6916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥))
18		vprc 4097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ V ∈ V
19		elsni 3578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → 𝑥 = ∅)
20	19	inteqd 3813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → ∩ 𝑥 = ∩ ∅)
21		int0 3822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∩ ∅ = V
22	20, 21	eqtrdi 2206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → ∩ 𝑥 = V)
23	22	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → (∩ 𝑥 ∈ V ↔ V ∈ V))
24	18, 23	mtbiri 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} → ¬ ∩ 𝑥 ∈ V)
25		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 = ∩ 𝑥)
26		simpll 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → 𝐴 ∈ V)
27	25, 26	eqeltrrd 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ∩ 𝑥 ∈ V)
28	24, 27	nsyl3 616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ {∅})
29	28	biantrud 302	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅})))
30		eldif 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ ¬ 𝑥 ∈ {∅}))
31	29, 30	bitr4di 197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ↔ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
32	31	pm5.32da 448	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)) ↔ (𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}))))
33		ancom 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) ↔ (𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)))
34		ancom 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) ↔ (𝐴 = ∩ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})))
35	32, 33, 34	3bitr4g 222	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅}) ∧ 𝐴 = ∩ 𝑥)))
36	35	rexbidv2 2460	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝐴 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))
37	17, 36	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))
38	37	expcom 115	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥)))
39	2, 16, 38	pm5.21ndd 695	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (fi‘𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ ((𝒫 𝐵 ∩ Fin) ∖ {∅})𝐴 = ∩ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∃wrex 2436  Vcvv 2712   ∖ cdif 3099   ∩ cin 3101  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  {csn 3560  ∩ cint 3808  ‘cfv 5171  Fincfn 6686  ficfi 6913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-id 4254  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-er 6481  df-en 6687  df-fin 6689  df-fi 6914

This theorem is referenced by:  fiuni  6923  fifo  6925