Theorem nninfdclemp1 13061

Description: Lemma for nninfdc 13064. Each element of the sequence 𝐹 is greater than the previous element. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemp1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemp1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemp1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑝 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 13060	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		nninfdclemp1.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 5779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
9	1, 8	sseldd 3226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
10	9	nnred 9146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
11	9	nnzd 9591	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ)
13	12	zred 9592	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℝ)
14	7	peano2nnd 9148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
15	6, 14	ffvelcdmd 5779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ 𝐴)
16	1, 15	sseldd 3226	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nnred 9146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
18	10	ltp1d 9100	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < ((𝐹‘𝑈) + 1))
19		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
20	19	elin2d 3395	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
21		eluzle 9758	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
23	22	ralrimiva 2603	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
24		inss1 3425	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ 𝐴
25	24, 1	sstrid 3236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℕ)
26		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
27	26	dcbid 843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
28	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	rspcdva 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
31	29	nnzd 9591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
32		eluzdc 9834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
33	12, 31, 32	syl2an2r 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
34		dcan2 940	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
35	30, 33, 34	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
36		elin 3388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
37	36	dcbii 845	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
39	38	ralrimiva 2603	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
40		breq1 4089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑈) < 𝑛))
41	40	rexbidv 2531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛))
42	41, 3, 9	rspcdva 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛)
43		breq2 4090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑈) < 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
44	43	cbvrexv 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
45	42, 44	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
46		df-rex 2514	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
47	45, 46	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
48		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
49	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ)
50	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
51	50, 48	sseldd 3226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
52	51	nnzd 9591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
53		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
54		nnltp1le 9530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
55	9, 51, 54	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
56	53, 55	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏)
57		eluz2 9751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) ↔ (((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
58	49, 52, 56, 57	syl3anbrc 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
59	48, 58	elind 3390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
61	60	eximdv 1926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
63	25, 39, 62	nninfdcex 10487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))𝑟 < 𝑏)))
64		nnssre 9137	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
65	25, 64	sstrdi 3237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℝ)
66	63, 65, 13	infregelbex 9822	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟))
67	23, 66	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
68	5	fveq1i 5636	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(𝑈 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1))
69		nnuz 9782	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
70	7, 69	eleqtrdi 2322	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (ℤ≥‘1))
71		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
72		eqidd 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → 𝐽 = 𝐽)
73		elnnuz 9783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1))
74	73	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑝 ∈ ℕ)
75	74	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
76	4	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
77	76	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐽 ∈ 𝐴)
78	71, 72, 75, 77	fvmptd3 5736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
79	78, 77	eqeltrd 2306	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
80	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
81	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
82	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
83		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
84		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
85	80, 81, 82, 83, 84	nninfdclemcl 13059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
86	70, 79, 85	seq3p1 10717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
87	68, 86	eqtrid 2274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
88	5	fveq1i 5636	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑈) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)
89	88	eqcomi 2233	. . . . . 6 ⊢ (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹‘𝑈)
90	89	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹‘𝑈))
91		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑈 + 1) → 𝐽 = 𝐽)
92	71, 91, 14, 76	fvmptd3 5736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1)) = 𝐽)
93	90, 92	oveq12d 6031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))) = ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽))
94	1, 76	sseldd 3226	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
95		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
96	95	dcbid 843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
97	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
99	96, 97, 98	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
100	98	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
101		eluzdc 9834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
102	12, 100, 101	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
103		dcan2 940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
104	99, 102, 103	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
105		elin 3388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
106	105	dcbii 845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
107	104, 106	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
108	107	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
109		eleq1w 2290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
110	109	dcbid 843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
111	110	cbvralv 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
112	108, 111	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
113		nnmindc 12595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ∧ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
114	25, 112, 62, 113	syl3anc 1271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
115	114	elin1d 3394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
116		fvoveq1 6036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
117	116	ineq2d 3406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
118	117	infeq1d 7202	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
119		eqidd 2230	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐽 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
120		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
121	118, 119, 120	ovmpog 6151	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
122	9, 94, 115, 121	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
123	87, 93, 122	3eqtrd 2266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
124	67, 123	breqtrrd 4114	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑈 + 1)))
125	10, 13, 17, 18, 124	ltletrd 8593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ∩ cin 3197   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∈ cmpo 6015  infcinf 7173  ℝcr 8021  1c1 8023   + caddc 8025   < clt 8204   ≤ cle 8205  ℕcn 9133  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  nninfdclemlt  13062