Theorem nninfdclemp1 13201

Description: Lemma for nninfdc 13204. Each element of the sequence 𝐹 is greater than the previous element. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemp1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemp1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemp1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑝 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 13200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		nninfdclemp1.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelcdmd 5813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
9	1, 8	sseldd 3239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
10	9	nnred 9250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
11	9	nnzd 9699	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9703	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ)
13	12	zred 9700	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℝ)
14	7	peano2nnd 9252	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
15	6, 14	ffvelcdmd 5813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ 𝐴)
16	1, 15	sseldd 3239	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nnred 9250	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
18	10	ltp1d 9204	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < ((𝐹‘𝑈) + 1))
19		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
20	19	elin2d 3409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
21		eluzle 9866	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
23	22	ralrimiva 2615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
24		inss1 3441	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ 𝐴
25	24, 1	sstrid 3249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℕ)
26		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
27	26	dcbid 846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
28	2	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
29		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	rspcdva 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
31	29	nnzd 9699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
32		eluzdc 9942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
33	12, 31, 32	syl2an2r 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
34		dcan2 943	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
35	30, 33, 34	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
36		elin 3402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
37	36	dcbii 848	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
38	35, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
39	38	ralrimiva 2615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
40		breq1 4112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑈) < 𝑛))
41	40	rexbidv 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛))
42	41, 3, 9	rspcdva 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛)
43		breq2 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑈) < 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
44	43	cbvrexv 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
45	42, 44	sylib 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
46		df-rex 2526	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
47	45, 46	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
48		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
49	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ)
50	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
51	50, 48	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
52	51	nnzd 9699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
53		simprr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
54		nnltp1le 9638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
55	9, 51, 54	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
56	53, 55	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏)
57		eluz2 9859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) ↔ (((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
58	49, 52, 56, 57	syl3anbrc 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
59	48, 58	elind 3404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
61	60	eximdv 1929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
63	25, 39, 62	nninfdcex 10597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))𝑟 < 𝑏)))
64		nnssre 9241	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
65	25, 64	sstrdi 3250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℝ)
66	63, 65, 13	infregelbex 9930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟))
67	23, 66	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
68	5	fveq1i 5671	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(𝑈 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1))
69		nnuz 9890	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
70	7, 69	eleqtrdi 2325	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (ℤ≥‘1))
71		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
72		eqidd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → 𝐽 = 𝐽)
73		elnnuz 9891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1))
74	73	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑝 ∈ ℕ)
75	74	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
76	4	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
77	76	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐽 ∈ 𝐴)
78	71, 72, 75, 77	fvmptd3 5771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
79	78, 77	eqeltrd 2309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
80	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
81	2	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
82	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
83		simprl 531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
84		simprr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
85	80, 81, 82, 83, 84	nninfdclemcl 13199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
86	70, 79, 85	seq3p1 10827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
87	68, 86	eqtrid 2277	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
88	5	fveq1i 5671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑈) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)
89	88	eqcomi 2236	. . . . . 6 ⊢ (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹‘𝑈)
90	89	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹‘𝑈))
91		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑈 + 1) → 𝐽 = 𝐽)
92	71, 91, 14, 76	fvmptd3 5771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1)) = 𝐽)
93	90, 92	oveq12d 6068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))) = ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽))
94	1, 76	sseldd 3239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
95		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
96	95	dcbid 846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
97	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
98		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
99	96, 97, 98	rspcdva 2926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
100	98	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
101		eluzdc 9942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
102	12, 100, 101	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
103		dcan2 943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
104	99, 102, 103	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
105		elin 3402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
106	105	dcbii 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
107	104, 106	sylibr 134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
108	107	ralrimiva 2615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
109		eleq1w 2293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
110	109	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
111	110	cbvralv 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
112	108, 111	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
113		nnmindc 12730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ∧ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
114	25, 112, 62, 113	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
115	114	elin1d 3408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
116		fvoveq1 6073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
117	116	ineq2d 3422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
118	117	infeq1d 7303	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
119		eqidd 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐽 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
120		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
121	118, 119, 120	ovmpog 6188	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
122	9, 94, 115, 121	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
123	87, 93, 122	3eqtrd 2269	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
124	67, 123	breqtrrd 4137	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑈 + 1)))
125	10, 13, 17, 18, 124	ltletrd 8697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521   ∩ cin 3210   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109   ↦ cmpt 4171  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050   ∈ cmpo 6052  infcinf 7274  ℝcr 8126  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℕcn 9237  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  seqcseq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810

This theorem is referenced by:  nninfdclemlt  13202