ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfdclemp1 GIF version

Theorem nninfdclemp1 12451
Description: Lemma for nninfdc 12454. Each element of the sequence 𝐹 is greater than the previous element. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfdclemf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
nninfdclemf.nb (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j (𝜑 → (𝐽𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemp1.u (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nninfdclemp1 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemp1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑝 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfdclemf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
2 nninfdclemf.dc . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
3 nninfdclemf.nb . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
4 nninfdclemf.j . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5 nninfdclemf.f . . . . . 6 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
61, 2, 3, 4, 5nninfdclemf 12450 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝐴)
7 nninfdclemp1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℕ)
86, 7ffvelcdmd 5653 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ 𝐴)
91, 8sseldd 3157 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℕ)
109nnred 8932 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
119nnzd 9374 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℤ)
1211peano2zd 9378 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) + 1) ∈ ℤ)
1312zred 9375 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑈) + 1) ∈ ℝ)
147peano2nnd 8934 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
156, 14ffvelcdmd 5653 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ 𝐴)
161, 15sseldd 3157 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℕ)
1716nnred 8932 . 2 (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
1810ltp1d 8887 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑈) < ((𝐹𝑈) + 1))
19 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
2019elin2d 3326 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
21 eluzle 9540 . . . . . 6 (𝑟 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)) → ((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
2220, 21syl 14 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))) → ((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
2322ralrimiva 2550 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
24 inss1 3356 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ⊆ 𝐴
2524, 1sstrid 3167 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ⊆ ℕ)
26 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴𝑎𝐴))
2726dcbid 838 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑎𝐴))
282adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
29 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℕ)
3027, 28, 29rspcdva 2847 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎𝐴)
3129nnzd 9374 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
32 eluzdc 9610 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
3312, 31, 32syl2an2r 595 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
34 dcan2 934 . . . . . . . . 9 (DECID 𝑎𝐴 → (DECID 𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)) → DECID (𝑎𝐴𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))))
3530, 33, 34sylc 62 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → DECID (𝑎𝐴𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
36 elin 3319 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ (𝑎𝐴𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
3736dcbii 840 . . . . . . . 8 (DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑎𝐴𝑎 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
3835, 37sylibr 134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
3938ralrimiva 2550 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
40 breq1 4007 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐹𝑈) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝐹𝑈) < 𝑛))
4140rexbidv 2478 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐹𝑈) → (∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛𝐴 (𝐹𝑈) < 𝑛))
4241, 3, 9rspcdva 2847 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑛𝐴 (𝐹𝑈) < 𝑛)
43 breq2 4008 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑏 → ((𝐹𝑈) < 𝑛 ↔ (𝐹𝑈) < 𝑏))
4443cbvrexv 2705 . . . . . . . . 9 (∃𝑛𝐴 (𝐹𝑈) < 𝑛 ↔ ∃𝑏𝐴 (𝐹𝑈) < 𝑏)
4542, 44sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑏𝐴 (𝐹𝑈) < 𝑏)
46 df-rex 2461 . . . . . . . 8 (∃𝑏𝐴 (𝐹𝑈) < 𝑏 ↔ ∃𝑏(𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏))
4745, 46sylib 122 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏(𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏))
48 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → 𝑏𝐴)
4912adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹𝑈) + 1) ∈ ℤ)
501adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
5150, 48sseldd 3157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
5251nnzd 9374 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
53 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → (𝐹𝑈) < 𝑏)
54 nnltp1le 9313 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
559, 51, 54syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
5653, 55mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑏)
57 eluz2 9534 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)) ↔ (((𝐹𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
5849, 52, 56, 57syl3anbrc 1181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
5948, 58elind 3321 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
6059ex 115 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))))
6160eximdv 1880 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑏(𝑏𝐴 ∧ (𝐹𝑈) < 𝑏) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))))
6247, 61mpd 13 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
6325, 39, 62nninfdcex 11954 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))𝑟 < 𝑏)))
64 nnssre 8923 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
6525, 64sstrdi 3168 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ⊆ ℝ)
6663, 65, 13infregelbex 9598 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))((𝐹𝑈) + 1) ≤ 𝑟))
6723, 66mpbird 167 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ))
685fveq1i 5517 . . . . 5 (𝐹‘(𝑈 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1))
69 nnuz 9563 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
707, 69eleqtrdi 2270 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (ℤ‘1))
71 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
72 eqidd 2178 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑝𝐽 = 𝐽)
73 elnnuz 9564 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∈ (ℤ‘1))
7473biimpri 133 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ℤ‘1) → 𝑝 ∈ ℕ)
7574adantl 277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
764simpld 112 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽𝐴)
7776adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (ℤ‘1)) → 𝐽𝐴)
7871, 72, 75, 77fvmptd3 5610 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
7978, 77eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
801adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
812adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
823adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛𝐴 𝑚 < 𝑛)
83 simprl 529 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑝𝐴)
84 simprr 531 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → 𝑞𝐴)
8580, 81, 82, 83, 84nninfdclemcl 12449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
8670, 79, 85seq3p1 10462 . . . . 5 (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
8768, 86eqtrid 2222 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
885fveq1i 5517 . . . . . . 7 (𝐹𝑈) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)
8988eqcomi 2181 . . . . . 6 (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹𝑈)
9089a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹𝑈))
91 eqidd 2178 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑈 + 1) → 𝐽 = 𝐽)
9271, 91, 14, 76fvmptd3 5610 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1)) = 𝐽)
9390, 92oveq12d 5893 . . . 4 (𝜑 → ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))) = ((𝐹𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽))
941, 76sseldd 3157 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
95 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥𝐴𝑠𝐴))
9695dcbid 838 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥𝐴DECID 𝑠𝐴))
972adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥𝐴)
98 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
9996, 97, 98rspcdva 2847 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠𝐴)
10098nnzd 9374 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
101 eluzdc 9610 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
10212, 100, 101syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
103 dcan2 934 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑠𝐴 → (DECID 𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)) → DECID (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))))
10499, 102, 103sylc 62 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
105 elin 3319 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
106105dcbii 840 . . . . . . . . . 10 (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑠𝐴𝑠 ∈ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
107104, 106sylibr 134 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
108107ralrimiva 2550 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
109 eleq1w 2238 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))))
110109dcbid 838 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))))
111110cbvralv 2704 . . . . . . . 8 (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
112108, 111sylib 122 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
113 nnmindc 12035 . . . . . . 7 (((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))) ∧ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
11425, 112, 62, 113syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
115114elin1d 3325 . . . . 5 (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
116 fvoveq1 5898 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐹𝑈) → (ℤ‘(𝑦 + 1)) = (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1)))
117116ineq2d 3337 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑈) → (𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))))
118117infeq1d 7011 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑈) → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ))
119 eqidd 2178 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐽 → inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ))
120 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
121118, 119, 120ovmpog 6009 . . . . 5 (((𝐹𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ))
1229, 94, 115, 121syl3anc 1238 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ))
12387, 93, 1223eqtrd 2214 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = inf((𝐴 ∩ (ℤ‘((𝐹𝑈) + 1))), ℝ, < ))
12467, 123breqtrrd 4032 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑈) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑈 + 1)))
12510, 13, 17, 18, 124ltletrd 8380 1 (𝜑 → (𝐹𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cin 3129  wss 3130   class class class wbr 4004  cmpt 4065  cfv 5217  (class class class)co 5875  cmpo 5877  infcinf 6982  cr 7810  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992  cle 7993  cn 8919  cz 9253  cuz 9528  seqcseq 10445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446
This theorem is referenced by:  nninfdclemlt  12452
  Copyright terms: Public domain W3C validator