Theorem nninfdclemp1 12379

Description: Lemma for nninfdc 12382. Each element of the sequence 𝐹 is greater than the previous element. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfdclemf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
nninfdclemf.dc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
nninfdclemf.nb	⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
nninfdclemf.j	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
nninfdclemf.f	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
nninfdclemp1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nninfdclemp1	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐴   𝑚,𝐹,𝑛   𝑥,𝐹   𝑦,𝐹,𝑧   𝑖,𝐽   𝑦,𝐽,𝑧   𝑈,𝑖   𝑈,𝑚,𝑛   𝑥,𝑈   𝑦,𝑈,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑖,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐽(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem nninfdclemp1

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑟 𝑝 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfdclemf.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
2		nninfdclemf.dc	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
3		nninfdclemf.nb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
4		nninfdclemf.j	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ 𝐴 ∧ 1 < 𝐽))
5		nninfdclemf.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))
6	1, 2, 3, 4, 5	nninfdclemf 12378	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶𝐴)
7		nninfdclemp1.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℕ)
8	6, 7	ffvelrnd 5620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ 𝐴)
9	1, 8	sseldd 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℕ)
10	9	nnred 8866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℝ)
11	9	nnzd 9308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) ∈ ℤ)
12	11	peano2zd 9312	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ)
13	12	zred 9309	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℝ)
14	7	peano2nnd 8868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 1) ∈ ℕ)
15	6, 14	ffvelrnd 5620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ 𝐴)
16	1, 15	sseldd 3142	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℕ)
17	16	nnred 8866	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) ∈ ℝ)
18	10	ltp1d 8821	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < ((𝐹‘𝑈) + 1))
19		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
20	19	elin2d 3311	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
21		eluzle 9474	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
22	20, 21	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
23	22	ralrimiva 2538	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟)
24		inss1 3341	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ 𝐴
25	24, 1	sstrid 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℕ)
26		eleq1w 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
27	26	dcbid 828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑎 ∈ 𝐴))
28	2	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
29		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℕ)
30	27, 28, 29	rspcdva 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ 𝐴)
31	29	nnzd 9308	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℤ)
32		eluzdc 9544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
33	12, 31, 32	syl2an2r 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
34		dcan2 924	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
35	30, 33, 34	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
36		elin 3304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
37	36	dcbii 830	. . . . . . . 8 ⊢ (DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑎 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
38	35, 37	sylibr 133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
39	38	ralrimiva 2538	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℕ DECID 𝑎 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
40		breq1 3984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (𝑚 < 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑈) < 𝑛))
41	40	rexbidv 2466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = (𝐹‘𝑈) → (∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛))
42	41, 3, 9	rspcdva 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛)
43		breq2 3985	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → ((𝐹‘𝑈) < 𝑛 ↔ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
44	43	cbvrexv 2692	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑛 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑛 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
45	42, 44	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
46		df-rex 2449	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑏 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
47	45, 46	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏))
48		simprl 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
49	12	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ)
50	1	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
51	50, 48	sseldd 3142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℕ)
52	51	nnzd 9308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ ℤ)
53		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → (𝐹‘𝑈) < 𝑏)
54		nnltp1le 9247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
55	9, 51, 54	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) < 𝑏 ↔ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
56	53, 55	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏)
57		eluz2 9468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) ↔ (((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑏))
58	49, 52, 56, 57	syl3anbrc 1171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
59	48, 58	elind 3306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏)) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
60	59	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
61	60	eximdv 1868	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏(𝑏 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑈) < 𝑏) → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
63	25, 39, 62	nninfdcex 11882	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ (∀𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ¬ 𝑏 < 𝑎 ∧ ∀𝑏 ∈ ℝ (𝑎 < 𝑏 → ∃𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))𝑟 < 𝑏)))
64		nnssre 8857	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
65	25, 64	sstrdi 3153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℝ)
66	63, 65, 13	infregelbex 9532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ↔ ∀𝑟 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ 𝑟))
67	23, 66	mpbird 166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
68	5	fveq1i 5486	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘(𝑈 + 1)) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1))
69		nnuz 9497	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
70	7, 69	eleqtrdi 2258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (ℤ≥‘1))
71		eqid 2165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽) = (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)
72		eqidd 2166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑝 → 𝐽 = 𝐽)
73		elnnuz 9498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℕ ↔ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1))
74	73	biimpri 132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑝 ∈ ℕ)
75	74	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑝 ∈ ℕ)
76	4	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐴)
77	76	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝐽 ∈ 𝐴)
78	71, 72, 75, 77	fvmptd3 5578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) = 𝐽)
79	78, 77	eqeltrd 2242	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘𝑝) ∈ 𝐴)
80	1	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℕ)
81	2	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
82	3	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ 𝐴 𝑚 < 𝑛)
83		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
84		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
85	80, 81, 82, 83, 84	nninfdclemcl 12377	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴)) → (𝑝(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝑞) ∈ 𝐴)
86	70, 79, 85	seq3p1 10393	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
87	68, 86	syl5eq 2210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))))
88	5	fveq1i 5486	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑈) = (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)
89	88	eqcomi 2169	. . . . . 6 ⊢ (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹‘𝑈)
90	89	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈) = (𝐹‘𝑈))
91		eqidd 2166	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = (𝑈 + 1) → 𝐽 = 𝐽)
92	71, 91, 14, 76	fvmptd3 5578	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1)) = 𝐽)
93	90, 92	oveq12d 5859	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((seq1((𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )), (𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽))‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))((𝑖 ∈ ℕ ↦ 𝐽)‘(𝑈 + 1))) = ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽))
94	1, 76	sseldd 3142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
95		eleq1w 2226	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑠 ∈ 𝐴))
96	95	dcbid 828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (DECID 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ DECID 𝑠 ∈ 𝐴))
97	2	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ 𝐴)
98		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℕ)
99	96, 97, 98	rspcdva 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ 𝐴)
100	98	nnzd 9308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → 𝑠 ∈ ℤ)
101		eluzdc 9544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑈) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑠 ∈ ℤ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
102	12, 100, 101	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
103		dcan2 924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ 𝐴 → (DECID 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
104	99, 102, 103	sylc 62	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
105		elin 3304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
106	105	dcbii 830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
107	104, 106	sylibr 133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
108	107	ralrimiva 2538	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
109		eleq1w 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
110	109	dcbid 828	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → (DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))))
111	110	cbvralv 2691	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑠 ∈ ℕ DECID 𝑠 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
112	108, 111	sylib 121	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
113		nnmindc 11963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ⊆ ℕ ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ DECID 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))) ∧ ∃𝑏 𝑏 ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
114	25, 112, 62, 113	syl3anc 1228	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
115	114	elin1d 3310	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴)
116		fvoveq1 5864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → (ℤ≥‘(𝑦 + 1)) = (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1)))
117	116	ineq2d 3322	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → (𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))) = (𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))))
118	117	infeq1d 6973	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑈) → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
119		eqidd 2166	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐽 → inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
120		eqid 2165	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < )) = (𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))
121	118, 119, 120	ovmpog 5972	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑈) ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ ∧ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
122	9, 94, 115, 121	syl3anc 1228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈)(𝑦 ∈ ℕ, 𝑧 ∈ ℕ ↦ inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘(𝑦 + 1))), ℝ, < ))𝐽) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
123	87, 93, 122	3eqtrd 2202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑈 + 1)) = inf((𝐴 ∩ (ℤ≥‘((𝐹‘𝑈) + 1))), ℝ, < ))
124	67, 123	breqtrrd 4009	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑈) + 1) ≤ (𝐹‘(𝑈 + 1)))
125	10, 13, 17, 18, 124	ltletrd 8317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑈) < (𝐹‘(𝑈 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 824   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2443  ∃wrex 2444   ∩ cin 3114   ⊆ wss 3115   class class class wbr 3981   ↦ cmpt 4042  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841   ∈ cmpo 5843  infcinf 6944  ℝcr 7748  1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   ≤ cle 7930  ℕcn 8853  ℤcz 9187  ℤ_≥cuz 9462  seqcseq 10376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074  df-seqfrec 10377

This theorem is referenced by:  nninfdclemlt  12380