Theorem fifo 7089

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
fifo	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2		eldifi 3296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3	2	elin2d 3364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
4		fin0 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦)
7		inteximm 4197	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → ∩ 𝑦 ∈ V)
9	8	rgen 2560	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑦 ∈ V
10		fifo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑦)
11	10	fnmpt 5408	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑦 ∈ V → 𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
13		dffn4 5511	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹)
15		elfi2 7081	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦))
16	10	elrnmpt 4932	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦))
17	16	elv 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦)
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
19	18	eqrdv 2204	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = ran 𝐹)
20		foeq3 5503	. . 3 ⊢ ((fi‘𝐴) = ran 𝐹 → (𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹))
22	14, 21	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  Vcvv 2773   ∖ cdif 3164   ∩ cin 3166  ∅c0 3461  𝒫 cpw 3617  {csn 3634  ∩ cint 3887   ↦ cmpt 4109  ran crn 4680   Fn wfn 5271  –onto→wfo 5274  ‘cfv 5276  Fincfn 6834  ficfi 7077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-er 6627  df-en 6835  df-fin 6837  df-fi 7078

This theorem is referenced by: (None)