ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fifo GIF version

Theorem fifo 6957
Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fifo.1 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦)
Assertion
Ref Expression
fifo (𝐴𝑉𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem fifo
Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsni 3712 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2 eldifi 3249 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
32elin2d 3317 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
4 fin0 6863 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑦))
53, 4syl 14 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑦))
61, 5mpbid 146 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → ∃𝑤 𝑤𝑦)
7 inteximm 4135 . . . . . 6 (∃𝑤 𝑤𝑦 𝑦 ∈ V)
86, 7syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ V)
98rgen 2523 . . . 4 𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑦 ∈ V
10 fifo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ 𝑦)
1110fnmpt 5324 . . . 4 (∀𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) 𝑦 ∈ V → 𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
129, 11mp1i 10 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
13 dffn4 5426 . . 3 (𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹)
1412, 13sylib 121 . 2 (𝐴𝑉𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹)
15 elfi2 6949 . . . . 5 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
1610elrnmpt 4860 . . . . . 6 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦))
1716elv 2734 . . . . 5 (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = 𝑦)
1815, 17bitr4di 197 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
1918eqrdv 2168 . . 3 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = ran 𝐹)
20 foeq3 5418 . . 3 ((fi‘𝐴) = ran 𝐹 → (𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹))
2119, 20syl 14 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹))
2214, 21mpbird 166 1 (𝐴𝑉𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  wne 2340  wral 2448  wrex 2449  Vcvv 2730  cdif 3118  cin 3120  c0 3414  𝒫 cpw 3566  {csn 3583   cint 3831  cmpt 4050  ran crn 4612   Fn wfn 5193  ontowfo 5196  cfv 5198  Fincfn 6718  ficfi 6945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-fin 6721  df-fi 6946
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator