Theorem fifo 7039

Description: Describe a surjection from nonempty finite sets to finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑦)

Assertion

Ref	Expression
fifo	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑦)

Proof of Theorem fifo

Dummy variables 𝑥 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ≠ ∅)
2		eldifi 3281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
3	2	elin2d 3349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → 𝑦 ∈ Fin)
4		fin0 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → (𝑦 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦))
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦)
7		inteximm 4178	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑦 → ∩ 𝑦 ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) → ∩ 𝑦 ∈ V)
9	8	rgen 2547	. . . 4 ⊢ ∀𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑦 ∈ V
10		fifo.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↦ ∩ 𝑦)
11	10	fnmpt 5380	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})∩ 𝑦 ∈ V → 𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
12	9, 11	mp1i 10	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}))
13		dffn4 5482	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅}) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹)
14	12, 13	sylib 122	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹)
15		elfi2 7031	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦))
16	10	elrnmpt 4911	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦))
17	16	elv 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑦 ∈ ((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})𝑥 = ∩ 𝑦)
18	15, 17	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ (fi‘𝐴) ↔ 𝑥 ∈ ran 𝐹))
19	18	eqrdv 2191	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = ran 𝐹)
20		foeq3 5474	. . 3 ⊢ ((fi‘𝐴) = ran 𝐹 → (𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹))
21	19, 20	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴) ↔ 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→ran 𝐹))
22	14, 21	mpbird 167	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹:((𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∖ {∅})–onto→(fi‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ∖ cdif 3150   ∩ cin 3152  ∅c0 3446  𝒫 cpw 3601  {csn 3618  ∩ cint 3870   ↦ cmpt 4090  ran crn 4660   Fn wfn 5249  –onto→wfo 5252  ‘cfv 5254  Fincfn 6794  ficfi 7027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-fi 7028

This theorem is referenced by: (None)