resqrexlemga - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemga		GIF version

Theorem resqrexlemga 11170

Description: Lemma for resqrex 11173. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemga	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑗,𝐹,𝑘 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝑗,𝑘,𝜑 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)

**Proof of Theorem resqrexlemga**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
6		1nn 8995	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
9		2z 9348	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 2 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 10771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
12		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
13	11, 12	rpdivcld 9783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ⁺)
14	13	rpred 9765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
15		1red 8036	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	readdcld 8051	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
17		arch 9240	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
19		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
21		eluznn 9668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → 𝜑)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝜑)
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
26	25, 22	ffvelcdmd 5695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
28	26, 27	rpexpcld 10771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
29		fveq2 5555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
30	29	oveq1d 5934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
32	30, 31	fvmptg 5634	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
34	28	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	34, 35	resubcld 8402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
39		4re 9061	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
40		4pos 9081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 4 ∈ ℝ⁺)
43		nnm1nn0 9284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
45	44	nn0zd 9440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
46	42, 45	rpexpcld 10771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ⁺)
47	38, 46	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
49	48	rpred 9765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ)
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
53	22	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
54		1red 8036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
55	53, 54	resubcld 8402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 4 ∈ ℝ)
57	56, 44	reexpcld 10764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
59	19	nnred 8997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
61		eluzle 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘)
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘 ↔ (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1)))
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1))
66		4z 9350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
67		2re 9054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		2lt4 9158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 4
70		eluz2 9601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ (ℤ_≥‘2)
72		bernneq3 10736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (4↑(𝑘 − 1)))
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) < 𝑒)
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒)
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒)))
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒))
79	33, 78	eqbrtrd 4052	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒))
80	33, 28	eqeltrd 2270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
81	80	rpred 9765	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
82	81, 49	readdcld 8051	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))
85	84, 33	breqtrrd 4058	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < (𝐺‘𝑘))
86	81, 48	ltaddrpd 9799	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8147	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
89	88	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
90	89	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
91	90	reximdva 2596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
92	18, 91	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
93	92	ralrimiva 2567	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1364 ∈ wcel 2164 ∀wral 2472 ∃wrex 2473 {csn 3619 class class class wbr 4030 ↦ cmpt 4091 × cxp 4658 ⟶wf 5251 ‘cfv 5255 (class class class)co 5919 ∈ cmpo 5921 ℝcr 7873 0cc0 7874 1c1 7875 + caddc 7877 < clt 8056 ≤ cle 8057 − cmin 8192 / cdiv 8693 ℕcn 8984 2c2 9035 4c4 9037 ℕ₀cn0 9243 ℤcz 9320 ℤ_≥cuz 9595 ℝ⁺crp 9722 seqcseq 10521 ↑cexp 10612

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-rp 9723 df-seqfrec 10522 df-exp 10613

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 11171

W3C validator