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Theorem resqrexlemga 11034
Description: Lemma for resqrex 11037. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘– ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΉβ€˜π‘–) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((πΉβ€˜π‘–) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑2))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemga (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑗,𝐹,π‘˜   π‘₯,𝐹,π‘˜   𝑒,𝑗,π‘˜,πœ‘   πœ‘,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑖)   𝐴(π‘₯,𝑒,𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑖)   𝐺(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,π‘˜)   𝐿(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem resqrexlemga
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 11018 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
54adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
6 1nn 8932 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„•
76a1i 9 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„•)
85, 7ffvelcdmd 5654 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ+)
9 2z 9283 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„€
109a1i 9 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„€)
118, 10rpexpcld 10680 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ+)
12 simpr 110 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
1311, 12rpdivcld 9716 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ+)
1413rpred 9698 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
15 1red 7974 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ ℝ)
1614, 15readdcld 7989 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
17 arch 9175 . . . 4 (((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
1816, 17syl 14 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
19 simpllr 534 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
20 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—))
21 eluznn 9602 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
2219, 20, 21syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
23 simplll 533 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) β†’ πœ‘)
2423adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
2524, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
2625, 22ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
279a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 2 ∈ β„€)
2826, 27rpexpcld 10680 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ℝ+)
29 fveq2 5517 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘˜))
3029oveq1d 5892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)↑2) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
31 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)↑2))
3230, 31fvmptg 5594 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ℝ+) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
3322, 28, 32syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
3428rpred 9698 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) ∈ ℝ)
3524, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 8340 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
3711ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ+)
3837rpred 9698 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ)
39 4re 8998 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
40 4pos 9018 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
4139, 40elrpii 9658 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ+
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 4 ∈ ℝ+)
43 nnm1nn0 9219 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4422, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0)
4544nn0zd 9375 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„€)
4642, 45rpexpcld 10680 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
4738, 46rerpdivcld 9730 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
4812ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
4948rpred 9698 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
501, 2, 3resqrexlemcalc3 11027 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
5124, 22, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) ≀ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))))
5214ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
5322nnred 8934 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
54 1red 7974 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 1 ∈ ℝ)
5553, 54resubcld 8340 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ ℝ)
5639a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 4 ∈ ℝ)
5756, 44reexpcld 10673 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
5816ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
5919nnred 8934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ∈ ℝ)
60 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
61 eluzle 9542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—) β†’ 𝑗 ≀ π‘˜)
6261adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝑗 ≀ π‘˜)
6358, 59, 53, 60, 62ltletrd 8382 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < π‘˜)
6452, 54, 53ltaddsubd 8504 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < π‘˜ ↔ (((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) < (π‘˜ βˆ’ 1)))
6563, 64mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) < (π‘˜ βˆ’ 1))
66 4z 9285 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ β„€
67 2re 8991 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
68 2lt4 9094 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < 4
6967, 39, 68ltleii 8062 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≀ 4
70 eluz2 9536 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ (2 ∈ β„€ ∧ 4 ∈ β„€ ∧ 2 ≀ 4))
719, 66, 69, 70mpbir3an 1179 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)
72 bernneq3 10645 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘˜ βˆ’ 1) ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) < (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
7371, 44, 72sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 1) < (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
7452, 55, 57, 65, 73lttrd 8085 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) < (4↑(π‘˜ βˆ’ 1)))
7538, 48, 46, 74ltdiv23d 9759 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(π‘˜ βˆ’ 1))) < 𝑒)
7636, 47, 49, 51, 75lelttrd 8084 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) < 𝑒)
7734, 35, 49ltsubadd2d 8502 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘˜)↑2) βˆ’ 𝐴) < 𝑒 ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) < (𝐴 + 𝑒)))
7876, 77mpbid 147 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)↑2) < (𝐴 + 𝑒))
7933, 78eqbrtrd 4027 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒))
8033, 28eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ+)
8180rpred 9698 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8281, 49readdcld 7989 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒) ∈ ℝ)
831, 2, 3resqrexlemover 11021 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
8424, 22, 83syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 < ((πΉβ€˜π‘˜)↑2))
8584, 33breqtrrd 4033 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 < (πΊβ€˜π‘˜))
8681, 48ltaddrpd 9732 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒))
8735, 81, 82, 85, 86lttrd 8085 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒))
8879, 87jca 306 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒)))
8988ralrimiva 2550 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒)))
9089ex 115 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒))))
9190reximdva 2579 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• ((((πΉβ€˜1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒))))
9218, 91mpd 13 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒)))
9392ralrimiva 2550 1 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)((πΊβ€˜π‘˜) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((πΊβ€˜π‘˜) + 𝑒)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {csn 3594   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   Γ— cxp 4626  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130   / cdiv 8631  β„•cn 8921  2c2 8972  4c4 8974  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  β„+crp 9655  seqcseq 10447  β†‘cexp 10521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11035
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