resqrexlemga - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemga 11549

Description: Lemma for resqrex 11552. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemga	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑗,𝐹,𝑘 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝑗,𝑘,𝜑 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)

**Proof of Theorem resqrexlemga**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
6		1nn 9132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
9		2z 9485	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 2 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 10931	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
12		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
13	11, 12	rpdivcld 9922	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ⁺)
14	13	rpred 9904	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
15		1red 8172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	readdcld 8187	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
17		arch 9377	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
19		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
21		eluznn 9807	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → 𝜑)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝜑)
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
26	25, 22	ffvelcdmd 5773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
28	26, 27	rpexpcld 10931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
29		fveq2 5629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
30	29	oveq1d 6022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
32	30, 31	fvmptg 5712	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
34	28	rpred 9904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	34, 35	resubcld 8538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 9904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
39		4re 9198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
40		4pos 9218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 4 ∈ ℝ⁺)
43		nnm1nn0 9421	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
45	44	nn0zd 9578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
46	42, 45	rpexpcld 10931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ⁺)
47	38, 46	rerpdivcld 9936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
49	48	rpred 9904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ)
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
53	22	nnred 9134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
54		1red 8172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
55	53, 54	resubcld 8538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 4 ∈ ℝ)
57	56, 44	reexpcld 10924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
59	19	nnred 9134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
61		eluzle 9746	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘)
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘 ↔ (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1)))
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1))
66		4z 9487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
67		2re 9191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		2lt4 9295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 4
70		eluz2 9739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ (ℤ_≥‘2)
72		bernneq3 10896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (4↑(𝑘 − 1)))
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) < 𝑒)
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒)
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8701	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒)))
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒))
79	33, 78	eqbrtrd 4105	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒))
80	33, 28	eqeltrd 2306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
81	80	rpred 9904	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
82	81, 49	readdcld 8187	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11536	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))
85	84, 33	breqtrrd 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < (𝐺‘𝑘))
86	81, 48	ltaddrpd 9938	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8283	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
89	88	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
90	89	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
91	90	reximdva 2632	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
92	18, 91	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
93	92	ralrimiva 2603	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1395 ∈ wcel 2200 ∀wral 2508 ∃wrex 2509 {csn 3666 class class class wbr 4083 ↦ cmpt 4145 × cxp 4717 ⟶wf 5314 ‘cfv 5318 (class class class)co 6007 ∈ cmpo 6009 ℝcr 8009 0cc0 8010 1c1 8011 + caddc 8013 < clt 8192 ≤ cle 8193 − cmin 8328 / cdiv 8830 ℕcn 9121 2c2 9172 4c4 9174 ℕ₀cn0 9380 ℤcz 9457 ℤ_≥cuz 9733 ℝ⁺crp 9861 seqcseq 10681 ↑cexp 10772

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128 ax-arch 8129

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-frec 6543 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-inn 9122 df-2 9180 df-3 9181 df-4 9182 df-n0 9381 df-z 9458 df-uz 9734 df-rp 9862 df-seqfrec 10682 df-exp 10773

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 11550

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