resqrexlemga - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemga 11016

Description: Lemma for resqrex 11019. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐹‘𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹‘𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemga	⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝑗,𝐹,𝑘 𝑥,𝐹,𝑘 𝑒,𝑗,𝑘,𝜑 𝜑,𝑦,𝑧 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑥,𝑖) 𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑖) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘) 𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)

**Proof of Theorem resqrexlemga**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
5	4	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
6		1nn 8919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℕ)
8	5, 7	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
9		2z 9270	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 2 ∈ ℤ)
11	8, 10	rpexpcld 10663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
12		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
13	11, 12	rpdivcld 9701	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ⁺)
14	13	rpred 9683	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
15		1red 7963	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → 1 ∈ ℝ)
16	14, 15	readdcld 7977	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
17		arch 9162	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
18	16, 17	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
19		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
20		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗))
21		eluznn 9589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22	19, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → 𝜑)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝜑)
25	24, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
26	25, 22	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
27	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
28	26, 27	rpexpcld 10663	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺)
29		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑘))
30	29	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑥)↑2) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
31		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹‘𝑥)↑2))
32	30, 31	fvmptg 5588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ⁺) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
33	22, 28, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘)↑2))
34	28	rpred 9683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) ∈ ℝ)
35	24, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
36	34, 35	resubcld 8328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
37	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
38	37	rpred 9683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
39		4re 8985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
40		4pos 9005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 < 4
41	39, 40	elrpii 9643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
42	41	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 4 ∈ ℝ⁺)
43		nnm1nn0 9206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
44	22, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀)
45	44	nn0zd 9362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
46	42, 45	rpexpcld 10663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ⁺)
47	38, 46	rerpdivcld 9715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
48	12	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ⁺)
49	48	rpred 9683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ)
50	1, 2, 3	resqrexlemcalc3 11009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
51	24, 22, 50	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
52	14	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
53	22	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
54		1red 7963	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
55	53, 54	resubcld 8328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
56	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 4 ∈ ℝ)
57	56, 44	reexpcld 10656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
58	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
59	19	nnred 8921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
60		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
61		eluzle 9529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗) → 𝑗 ≤ 𝑘)
62	61	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝑗 ≤ 𝑘)
63	58, 59, 53, 60, 62	ltletrd 8370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘)
64	52, 54, 53	ltaddsubd 8492	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘 ↔ (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1)))
65	63, 64	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1))
66		4z 9272	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℤ
67		2re 8978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
68		2lt4 9081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 < 4
69	67, 39, 68	ltleii 8050	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≤ 4
70		eluz2 9523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
71	9, 66, 69, 70	mpbir3an 1179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ (ℤ_≥‘2)
72		bernneq3 10628	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((4 ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
73	71, 44, 72	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
74	52, 55, 57, 65, 73	lttrd 8073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (4↑(𝑘 − 1)))
75	38, 48, 46, 74	ltdiv23d 9744	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) < 𝑒)
76	36, 47, 49, 51, 75	lelttrd 8072	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒)
77	34, 35, 49	ltsubadd2d 8490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((((𝐹‘𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒 ↔ ((𝐹‘𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒)))
78	76, 77	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒))
79	33, 78	eqbrtrd 4022	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒))
80	33, 28	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ⁺)
81	80	rpred 9683	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
82	81, 49	readdcld 7977	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
83	1, 2, 3	resqrexlemover 11003	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))
84	24, 22, 83	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < ((𝐹‘𝑘)↑2))
85	84, 33	breqtrrd 4028	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < (𝐺‘𝑘))
86	81, 48	ltaddrpd 9717	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → (𝐺‘𝑘) < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
87	35, 81, 82, 85, 86	lttrd 8073	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))
88	79, 87	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)) → ((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
89	88	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
90	89	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
91	90	reximdva 2579	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒))))
92	18, 91	mpd 13	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ⁺) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))
93	92	ralrimiva 2550	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ⁺ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑗)((𝐺‘𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺‘𝑘) + 𝑒)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ∀wral 2455 ∃wrex 2456 {csn 3591 class class class wbr 4000 ↦ cmpt 4061 × cxp 4621 ⟶wf 5208 ‘cfv 5212 (class class class)co 5869 ∈ cmpo 5871 ℝcr 7801 0cc0 7802 1c1 7803 + caddc 7805 < clt 7982 ≤ cle 7983 − cmin 8118 / cdiv 8618 ℕcn 8908 2c2 8959 4c4 8961 ℕ₀cn0 9165 ℤcz 9242 ℤ_≥cuz 9517 ℝ⁺crp 9640 seqcseq 10431 ↑cexp 10505

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506

This theorem is referenced by: resqrexlemsqa 11017

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