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Theorem resqrexlemga 10510
Description: Lemma for resqrex 10513. The sequence formed by squaring each term of 𝐹 converges to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemgt0.rr (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
resqrexlemgt0.lim (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑖) < (𝐿 + 𝑒) ∧ 𝐿 < ((𝐹𝑖) + 𝑒)))
resqrexlemsqa.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
Assertion
Ref Expression
resqrexlemga (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑗,𝐹,𝑘   𝑥,𝐹,𝑘   𝑒,𝑗,𝑘,𝜑   𝜑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑖)   𝐴(𝑥,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑒,𝑖)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑧,𝑒,𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem resqrexlemga
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . . . . . 11 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 10494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
54adantr 271 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
6 1nn 8487 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
76a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℕ)
85, 7ffvelrnd 5449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
9 2z 8832 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
109a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℤ)
118, 10rpexpcld 10164 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
12 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
1311, 12rpdivcld 9245 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ+)
1413rpred 9227 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
15 1red 7557 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
1614, 15readdcld 7571 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
17 arch 8724 . . . 4 (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
1816, 17syl 14 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
19 simpllr 502 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
20 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))
21 eluznn 9141 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
2219, 20, 21syl2anc 404 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
23 simplll 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → 𝜑)
2423adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝜑)
2524, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶ℝ+)
2625, 22ffvelrnd 5449 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
279a1i 9 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 2 ∈ ℤ)
2826, 27rpexpcld 10164 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+)
29 fveq2 5318 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
3029oveq1d 5681 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥)↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
31 resqrexlemsqa.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)↑2))
3230, 31fvmptg 5393 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ+) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
3322, 28, 32syl2anc 404 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)↑2))
3428rpred 9227 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
3524, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 7913 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ∈ ℝ)
3711ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
3837rpred 9227 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ)
39 4re 8553 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
40 4pos 8573 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
4139, 40elrpii 9191 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ+
4241a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 4 ∈ ℝ+)
43 nnm1nn0 8768 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
4422, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℕ0)
4544nn0zd 8920 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
4642, 45rpexpcld 10164 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ+)
4738, 46rerpdivcld 9259 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) ∈ ℝ)
4812ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
4948rpred 9227 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑒 ∈ ℝ)
501, 2, 3resqrexlemcalc3 10503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
5124, 22, 50syl2anc 404 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) ≤ (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))))
5214ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) ∈ ℝ)
5322nnred 8489 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℝ)
54 1red 7557 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 1 ∈ ℝ)
5553, 54resubcld 7913 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) ∈ ℝ)
5639a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 4 ∈ ℝ)
5756, 44reexpcld 10157 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (4↑(𝑘 − 1)) ∈ ℝ)
5816ad3antrrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) ∈ ℝ)
5919nnred 8489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℝ)
60 simplr 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗)
61 eluzle 9085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → 𝑗𝑘)
6261adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗𝑘)
6358, 59, 53, 60, 62ltletrd 7955 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘)
6452, 54, 53ltaddsubd 8076 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑘 ↔ (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1)))
6563, 64mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (𝑘 − 1))
66 4z 8834 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
67 2re 8546 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
68 2lt4 8643 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < 4
6967, 39, 68ltleii 7641 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≤ 4
70 eluz2 9079 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 4))
719, 66, 69, 70mpbir3an 1126 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ (ℤ‘2)
72 bernneq3 10130 . . . . . . . . . . . . 13 ((4 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
7371, 44, 72sylancr 406 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑘 − 1) < (4↑(𝑘 − 1)))
7452, 55, 57, 65, 73lttrd 7663 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) < (4↑(𝑘 − 1)))
7538, 48, 46, 74ltdiv23d 9288 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑘 − 1))) < 𝑒)
7636, 47, 49, 51, 75lelttrd 7662 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒)
7734, 35, 49ltsubadd2d 8074 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)↑2) − 𝐴) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒)))
7876, 77mpbid 146 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)↑2) < (𝐴 + 𝑒))
7933, 78eqbrtrd 3871 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒))
8033, 28eqeltrd 2165 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ+)
8180rpred 9227 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
8281, 49readdcld 7571 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺𝑘) + 𝑒) ∈ ℝ)
831, 2, 3resqrexlemover 10497 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))
8424, 22, 83syl2anc 404 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 < ((𝐹𝑘)↑2))
8584, 33breqtrrd 3877 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 < (𝐺𝑘))
8681, 48ltaddrpd 9261 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐺𝑘) < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
8735, 81, 82, 85, 86lttrd 7663 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒))
8879, 87jca 301 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
8988ralrimiva 2447 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
9089ex 114 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
9190reximdva 2476 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ((((𝐹‘1)↑2) / 𝑒) + 1) < 𝑗 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒))))
9218, 91mpd 13 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
9392ralrimiva 2447 1 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐺𝑘) < (𝐴 + 𝑒) ∧ 𝐴 < ((𝐺𝑘) + 𝑒)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361  {csn 3450   class class class wbr 3851  cmpt 3905   × cxp 4449  wf 5024  cfv 5028  (class class class)co 5666  cmpt2 5668  cr 7403  0cc0 7404  1c1 7405   + caddc 7407   < clt 7576  cle 7577  cmin 7707   / cdiv 8193  cn 8476  2c2 8527  4c4 8529  0cn0 8727  cz 8804  cuz 9073  +crp 9188  seqcseq 9906  cexp 10008
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517  ax-arch 7518
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113  df-div 8194  df-inn 8477  df-2 8535  df-3 8536  df-4 8537  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-rp 9189  df-iseq 9907  df-seq3 9908  df-exp 10009
This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  10511
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