ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pigt3 GIF version

Theorem pigt3 13235
Description: π is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pigt3 3 < π

Proof of Theorem pigt3
StepHypRef Expression
1 sincos6thpi 13233 . . . . 5 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
21simpli 110 . . . 4 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
3 ax-1cn 7827 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 2cn 8909 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
5 2ap0 8931 . . . . . 6 2 # 0
64, 5pm3.2i 270 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
7 3cn 8913 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
8 3ap0 8934 . . . . . 6 3 # 0
97, 8pm3.2i 270 . . . . 5 (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
10 divcanap5 8591 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)) → ((3 · 1) / (3 · 2)) = (1 / 2))
113, 6, 9, 10mp3an 1319 . . . 4 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (1 / 2)
12 3t1e3 8993 . . . . 5 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 8994 . . . . 5 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 5838 . . . 4 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
152, 11, 143eqtr2i 2184 . . 3 (sin‘(π / 6)) = (3 / 6)
16 pire 13177 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
17 6nn 9003 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
18 nndivre 8874 . . . . . . 7 ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
1916, 17, 18mp2an 423 . . . . . 6 (π / 6) ∈ ℝ
20 6re 8919 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
21 pipos 13179 . . . . . . 7 0 < π
22 6pos 8939 . . . . . . 7 0 < 6
2316, 20, 21, 22divgt0ii 8795 . . . . . 6 0 < (π / 6)
24 1re 7879 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
25 pigt2lt4 13175 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
2625simpri 112 . . . . . . . . 9 π < 4
27 4re 8915 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
2816, 27, 20, 22ltdiv1ii 8805 . . . . . . . . 9 (π < 4 ↔ (π / 6) < (4 / 6))
2926, 28mpbi 144 . . . . . . . 8 (π / 6) < (4 / 6)
30 4lt6 9018 . . . . . . . . 9 4 < 6
3120, 22elrpii 9569 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ+
32 divlt1lt 9637 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) → ((4 / 6) < 1 ↔ 4 < 6))
3327, 31, 32mp2an 423 . . . . . . . . 9 ((4 / 6) < 1 ↔ 4 < 6)
3430, 33mpbir 145 . . . . . . . 8 (4 / 6) < 1
35 nndivre 8874 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (4 / 6) ∈ ℝ)
3627, 17, 35mp2an 423 . . . . . . . . 9 (4 / 6) ∈ ℝ
3719, 36, 24lttri 7984 . . . . . . . 8 (((π / 6) < (4 / 6) ∧ (4 / 6) < 1) → (π / 6) < 1)
3829, 34, 37mp2an 423 . . . . . . 7 (π / 6) < 1
3919, 24, 38ltleii 7982 . . . . . 6 (π / 6) ≤ 1
40 0xr 7926 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
41 elioc2 9846 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) ≤ 1)))
4240, 24, 41mp2an 423 . . . . . 6 ((π / 6) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) ≤ 1))
4319, 23, 39, 42mpbir3an 1164 . . . . 5 (π / 6) ∈ (0(,]1)
44 sin01bnd 11665 . . . . 5 ((π / 6) ∈ (0(,]1) → (((π / 6) − (((π / 6)↑3) / 3)) < (sin‘(π / 6)) ∧ (sin‘(π / 6)) < (π / 6)))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 (((π / 6) − (((π / 6)↑3) / 3)) < (sin‘(π / 6)) ∧ (sin‘(π / 6)) < (π / 6))
4645simpri 112 . . 3 (sin‘(π / 6)) < (π / 6)
4715, 46eqbrtrri 3989 . 2 (3 / 6) < (π / 6)
48 3re 8912 . . 3 3 ∈ ℝ
4948, 16, 20, 22ltdiv1ii 8805 . 2 (3 < π ↔ (3 / 6) < (π / 6))
5047, 49mpbir 145 1 3 < π
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128   class class class wbr 3967  cfv 5172  (class class class)co 5826  cc 7732  cr 7733  0cc0 7734  1c1 7735   · cmul 7739  *cxr 7913   < clt 7914  cle 7915  cmin 8050   # cap 8460   / cdiv 8549  cn 8838  2c2 8889  3c3 8890  4c4 8891  6c6 8893  +crp 9566  (,]cioc 9799  cexp 10427  csqrt 10907  sincsin 11552  cosccos 11553  πcpi 11555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854  ax-pre-suploc 7855  ax-addf 7856  ax-mulf 7857
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-disj 3945  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-of 6034  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-frec 6340  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6482  df-map 6597  df-pm 6598  df-en 6688  df-dom 6689  df-fin 6690  df-sup 6930  df-inf 6931  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-5 8900  df-6 8901  df-7 8902  df-8 8903  df-9 8904  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-xneg 9685  df-xadd 9686  df-ioo 9802  df-ioc 9803  df-ico 9804  df-icc 9805  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-fac 10611  df-bc 10633  df-ihash 10661  df-shft 10726  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-clim 11187  df-sumdc 11262  df-ef 11556  df-sin 11558  df-cos 11559  df-pi 11561  df-rest 12423  df-topgen 12442  df-psmet 12457  df-xmet 12458  df-met 12459  df-bl 12460  df-mopn 12461  df-top 12466  df-topon 12479  df-bases 12511  df-ntr 12566  df-cn 12658  df-cnp 12659  df-tx 12723  df-cncf 13028  df-limced 13095  df-dvap 13096
This theorem is referenced by:  pige3  13236
  Copyright terms: Public domain W3C validator