ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pigt3 GIF version

Theorem pigt3 12935
Description: π is greater than 3. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pigt3 3 < π

Proof of Theorem pigt3
StepHypRef Expression
1 sincos6thpi 12933 . . . . 5 ((sin‘(π / 6)) = (1 / 2) ∧ (cos‘(π / 6)) = ((√‘3) / 2))
21simpli 110 . . . 4 (sin‘(π / 6)) = (1 / 2)
3 ax-1cn 7720 . . . . 5 1 ∈ ℂ
4 2cn 8798 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
5 2ap0 8820 . . . . . 6 2 # 0
64, 5pm3.2i 270 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
7 3cn 8802 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
8 3ap0 8823 . . . . . 6 3 # 0
97, 8pm3.2i 270 . . . . 5 (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
10 divcanap5 8481 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)) → ((3 · 1) / (3 · 2)) = (1 / 2))
113, 6, 9, 10mp3an 1315 . . . 4 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (1 / 2)
12 3t1e3 8882 . . . . 5 (3 · 1) = 3
13 3t2e6 8883 . . . . 5 (3 · 2) = 6
1412, 13oveq12i 5786 . . . 4 ((3 · 1) / (3 · 2)) = (3 / 6)
152, 11, 143eqtr2i 2166 . . 3 (sin‘(π / 6)) = (3 / 6)
16 pire 12877 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
17 6nn 8892 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
18 nndivre 8763 . . . . . . 7 ((π ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (π / 6) ∈ ℝ)
1916, 17, 18mp2an 422 . . . . . 6 (π / 6) ∈ ℝ
20 6re 8808 . . . . . . 7 6 ∈ ℝ
21 pipos 12879 . . . . . . 7 0 < π
22 6pos 8828 . . . . . . 7 0 < 6
2316, 20, 21, 22divgt0ii 8684 . . . . . 6 0 < (π / 6)
24 1re 7772 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
25 pigt2lt4 12875 . . . . . . . . . 10 (2 < π ∧ π < 4)
2625simpri 112 . . . . . . . . 9 π < 4
27 4re 8804 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
2816, 27, 20, 22ltdiv1ii 8694 . . . . . . . . 9 (π < 4 ↔ (π / 6) < (4 / 6))
2926, 28mpbi 144 . . . . . . . 8 (π / 6) < (4 / 6)
30 4lt6 8907 . . . . . . . . 9 4 < 6
3120, 22elrpii 9451 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℝ+
32 divlt1lt 9518 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) → ((4 / 6) < 1 ↔ 4 < 6))
3327, 31, 32mp2an 422 . . . . . . . . 9 ((4 / 6) < 1 ↔ 4 < 6)
3430, 33mpbir 145 . . . . . . . 8 (4 / 6) < 1
35 nndivre 8763 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (4 / 6) ∈ ℝ)
3627, 17, 35mp2an 422 . . . . . . . . 9 (4 / 6) ∈ ℝ
3719, 36, 24lttri 7875 . . . . . . . 8 (((π / 6) < (4 / 6) ∧ (4 / 6) < 1) → (π / 6) < 1)
3829, 34, 37mp2an 422 . . . . . . 7 (π / 6) < 1
3919, 24, 38ltleii 7873 . . . . . 6 (π / 6) ≤ 1
40 0xr 7819 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
41 elioc2 9726 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((π / 6) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) ≤ 1)))
4240, 24, 41mp2an 422 . . . . . 6 ((π / 6) ∈ (0(,]1) ↔ ((π / 6) ∈ ℝ ∧ 0 < (π / 6) ∧ (π / 6) ≤ 1))
4319, 23, 39, 42mpbir3an 1163 . . . . 5 (π / 6) ∈ (0(,]1)
44 sin01bnd 11471 . . . . 5 ((π / 6) ∈ (0(,]1) → (((π / 6) − (((π / 6)↑3) / 3)) < (sin‘(π / 6)) ∧ (sin‘(π / 6)) < (π / 6)))
4543, 44ax-mp 5 . . . 4 (((π / 6) − (((π / 6)↑3) / 3)) < (sin‘(π / 6)) ∧ (sin‘(π / 6)) < (π / 6))
4645simpri 112 . . 3 (sin‘(π / 6)) < (π / 6)
4715, 46eqbrtrri 3951 . 2 (3 / 6) < (π / 6)
48 3re 8801 . . 3 3 ∈ ℝ
4948, 16, 20, 22ltdiv1ii 8694 . 2 (3 < π ↔ (3 / 6) < (π / 6))
5047, 49mpbir 145 1 3 < π
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628   · cmul 7632  *cxr 7806   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  2c2 8778  3c3 8779  4c4 8780  6c6 8782  +crp 9448  (,]cioc 9679  cexp 10299  csqrt 10775  sincsin 11357  cosccos 11358  πcpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  pige3  12936
  Copyright terms: Public domain W3C validator