resqrexlemnm - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemnm 11641

Description: Lemma for resqrex 11649. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemnm	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 𝑦,𝑀,𝑧 𝑦,𝑁,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑦,𝑧)

**Proof of Theorem resqrexlemnm**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11630	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelcdmd 5791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 9975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9	4, 8	ffvelcdmd 5791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
10	9	rpred 9975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
11	7, 10	resubcld 8602	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
12	7	resqcld 11007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
13	10	resqcld 11007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	12, 13	resubcld 8602	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) ∈ ℝ)
15		2cn 9256	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		expm1t 10875	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
17	15, 5, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
18		2nn 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
20	5	nnnn0d 9499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nnexpcld 11003	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 9973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
23	17, 22	eqeltrrd 2309	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 9975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ)
25	14, 24	remulcld 8252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
26		1nn 9196	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
28	4, 27	ffvelcdmd 5791	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
29	19	nnzd 9645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
30	28, 29	rpexpcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
31		4re 9262	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		4pos 9282	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
33	31, 32	elrpii 9935	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ⁺)
35	5	nnzd 9645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		peano2zm 9561	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
38	34, 37	rpexpcld 11005	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
39	30, 38	rpdivcld 9993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ⁺)
40	39	rpred 9975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
41	40, 24	remulcld 8252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
42	6, 9	rpaddcld 9991	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
43	42, 23	rpmulcld 9992	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ⁺)
44	43	rpred 9975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
45	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
46	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
47	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
49		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 11635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))
51	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
52	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
53		difrp 9971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺))
54	51, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺))
55	50, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
56	55	rpge0d 9979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
57	7	recnd 8250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
58	57	subidd 8520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑁)) = 0)
59		fveq2 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐹‘𝑁) = (𝐹‘𝑀))
60	59	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
61	58, 60	sylan9req 2285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 0 = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
62		0re 8222	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	62	eqlei 8315	. . . . . . 7 ⊢ (0 = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
66	8	nnzd 9645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
67		zleloe 9570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
68	35, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
69	65, 68	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
70	56, 64, 69	mpjaodan 806	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
71		1red 8237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	21	nnrecred 9232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
73	72	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
74	73	addridd 8370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) = (1 / (2↑𝑁)))
75		0red 8223	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 11636	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
77	5, 76	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
78	9	rpgt0d 9978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)))
80	74, 79	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)))
81	7, 10	readdcld 8251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 10028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁))))
83	80, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁)))
84	17	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
85	83, 84	breqtrd 4119	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
86	71, 44, 85	ltled 8340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 9159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ≤ (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
88	11	recnd 8250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
89	81	recnd 8250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
90	23	rpcnd 9977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℂ)
91	88, 89, 90	mulassd 8245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
92	88, 89	mulcomd 8243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
93	10	recnd 8250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
94		subsq 10954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
95	57, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
96	92, 95	eqtr4d 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
97	96	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
98	91, 97	eqtr3d 2266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
99	87, 98	breqtrd 4119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 11640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 10031	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 8346	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
103	40	recnd 8250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
104	19	nnrpd 9973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
105	104, 37	rpexpcld 11005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpcnd 9977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
107		2cnd 9258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
108	103, 106, 107	mulassd 8245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
109	30	rpcnd 9977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
110	38	rpcnd 9977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
111	38	rpap0d 9981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) # 0)
112	109, 110, 106, 111	div32apd 9036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
113		4d2e2 9346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 2) = 2
114	113	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = (2↑(𝑁 − 1))
115	34	rpcnd 9977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116	104	rpap0d 9981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
117		nnm1nn0 9485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 10995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
120	114, 119	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
121	120	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))))
122	105	rpap0d 9981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) # 0)
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 9029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
124	121, 123	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
125	124	oveq2d 6044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
126	112, 125	eqtr4d 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
127	126	oveq1d 6043	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
128	108, 127	eqtr3d 2266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
129	106, 122	recclapd 9003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
130	109, 129, 107	mul32d 8374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
131	128, 130	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
132	109, 107	mulcld 8242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
133	132, 106, 122	divrecapd 9015	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
134	131, 133	eqtr4d 2267	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
135	102, 134	breqtrd 4119	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 716 = wceq 1398 ∈ wcel 2202 {csn 3673 class class class wbr 4093 × cxp 4729 ‘cfv 5333 (class class class)co 6028 ∈ cmpo 6030 ℂcc 8073 ℝcr 8074 0cc0 8075 1c1 8076 + caddc 8078 · cmul 8080 < clt 8256 ≤ cle 8257 − cmin 8392 / cdiv 8894 ℕcn 9185 2c2 9236 4c4 9238 ℕ₀cn0 9444 ℤcz 9523 ℝ⁺crp 9932 seqcseq 10755 ↑cexp 10846

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-2 9244 df-3 9245 df-4 9246 df-n0 9445 df-z 9524 df-uz 9800 df-rp 9933 df-seqfrec 10756 df-exp 10847

This theorem is referenced by: resqrexlemcvg 11642

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