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Theorem resqrexlemnm 11062
Description: Lemma for resqrex 11070. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm (𝜑𝑁𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnm (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝜑,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnm
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 11051 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ+)
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
64, 5ffvelcdmd 5673 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ+)
76rpred 9728 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
8 resqrexlemnmsq.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
94, 8ffvelcdmd 5673 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ+)
109rpred 9728 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
117, 10resubcld 8369 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
127resqcld 10714 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑁)↑2) ∈ ℝ)
1310resqcld 10714 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝑀)↑2) ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 8369 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) ∈ ℝ)
15 2cn 9021 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
16 expm1t 10582 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
1715, 5, 16sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
18 2nn 9111 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
1918a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
205nnnn0d 9260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2119, 20nnexpcld 10710 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
2221nnrpd 9726 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
2317, 22eqeltrrd 2267 . . . . 5 (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ+)
2423rpred 9728 . . . 4 (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ)
2514, 24remulcld 8019 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
26 1nn 8961 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
2726a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
284, 27ffvelcdmd 5673 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ+)
2919nnzd 9405 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
3028, 29rpexpcld 10712 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ+)
31 4re 9027 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
32 4pos 9047 . . . . . . . . 9 0 < 4
3331, 32elrpii 9688 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
3433a1i 9 . . . . . . 7 (𝜑 → 4 ∈ ℝ+)
355nnzd 9405 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
36 peano2zm 9322 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3735, 36syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
3834, 37rpexpcld 10712 . . . . . 6 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
3930, 38rpdivcld 9746 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ+)
4039rpred 9728 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
4140, 24remulcld 8019 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
426, 9rpaddcld 9744 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+)
4342, 23rpmulcld 9745 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ+)
4443rpred 9728 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
452adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
463adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
475adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
488adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
49 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
501, 45, 46, 47, 48, 49resqrexlemdecn 11056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
5110adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
527adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → (𝐹𝑁) ∈ ℝ)
53 difrp 9724 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+))
5451, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑁) ↔ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+))
5550, 54mpbid 147 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℝ+)
5655rpge0d 9732 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
577recnd 8017 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
5857subidd 8287 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑁)) = 0)
59 fveq2 5534 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 → (𝐹𝑁) = (𝐹𝑀))
6059oveq2d 5913 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑁)) = ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
6158, 60sylan9req 2243 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 0 = ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
62 0re 7988 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
6362eqlei 8082 . . . . . . 7 (0 = ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
6461, 63syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
65 resqrexlemnmsq.nm . . . . . . 7 (𝜑𝑁𝑀)
668nnzd 9405 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
67 zleloe 9331 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
6835, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀)))
6965, 68mpbid 147 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 < 𝑀𝑁 = 𝑀))
7056, 64, 69mpjaodan 799 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)))
71 1red 8003 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
7221nnrecred 8997 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
7372recnd 8017 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
7473addridd 8137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) = (1 / (2↑𝑁)))
75 0red 7989 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
761, 2, 3resqrexlemlo 11057 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
775, 76mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹𝑁))
789rpgt0d 9731 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (𝐹𝑀))
7972, 75, 7, 10, 77, 78lt2addd 8555 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)))
8074, 79eqbrtrrd 4042 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)))
817, 10readdcld 8018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ∈ ℝ)
8271, 81, 22ltdivmul2d 9781 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ↔ 1 < (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · (2↑𝑁))))
8380, 82mpbid 147 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · (2↑𝑁)))
8417oveq2d 5913 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · (2↑𝑁)) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
8583, 84breqtrd 4044 . . . . . 6 (𝜑 → 1 < (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
8671, 44, 85ltled 8107 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
8711, 44, 70, 86lemulge11d 8925 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ≤ (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
8811recnd 8017 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
8981recnd 8017 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) ∈ ℂ)
9023rpcnd 9730 . . . . . 6 (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℂ)
9188, 89, 90mulassd 8012 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
9288, 89mulcomd 8010 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀))))
9310recnd 8017 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℂ)
94 subsq 10661 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℂ) → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀))))
9557, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) = (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀))))
9692, 95eqtr4d 2225 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) = (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)))
9796oveq1d 5912 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · ((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
9891, 97eqtr3d 2224 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) · (((𝐹𝑁) + (𝐹𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))) = ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
9987, 98breqtrd 4044 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) ≤ ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
1001, 2, 3, 5, 8, 65resqrexlemnmsq 11061 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
10114, 40, 23, 100ltmul1dd 9784 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹𝑁)↑2) − ((𝐹𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
10211, 25, 41, 99, 101lelttrd 8113 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
10340recnd 8017 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
10419nnrpd 9726 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
105104, 37rpexpcld 10712 . . . . . . 7 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ+)
106105rpcnd 9730 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
107 2cnd 9023 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
108103, 106, 107mulassd 8012 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
10930rpcnd 9730 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
11038rpcnd 9730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
11138rpap0d 9734 . . . . . . . 8 (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) # 0)
112109, 110, 106, 111div32apd 8802 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
113 4d2e2 9110 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 2) = 2
114113oveq1i 5907 . . . . . . . . . . 11 ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = (2↑(𝑁 − 1))
11534rpcnd 9730 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116104rpap0d 9734 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 2 # 0)
117 nnm1nn0 9248 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
1185, 117syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
119115, 107, 116, 118expdivapd 10702 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
120114, 119eqtr3id 2236 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
121120oveq2d 5913 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))))
122105rpap0d 9734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) # 0)
123110, 106, 111, 122recdivapd 8795 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
124121, 123eqtrd 2222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
125124oveq2d 5913 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
126112, 125eqtr4d 2225 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
127126oveq1d 5912 . . . . 5 (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
128108, 127eqtr3d 2224 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
129106, 122recclapd 8769 . . . . 5 (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
130109, 129, 107mul32d 8141 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
131128, 130eqtrd 2222 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
132109, 107mulcld 8009 . . . 4 (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
133132, 106, 122divrecapd 8781 . . 3 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
134131, 133eqtr4d 2225 . 2 (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
135102, 134breqtrd 4044 1 (𝜑 → ((𝐹𝑁) − (𝐹𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709   = wceq 1364  wcel 2160  {csn 3607   class class class wbr 4018   × cxp 4642  cfv 5235  (class class class)co 5897  cmpo 5899  cc 7840  cr 7841  0cc0 7842  1c1 7843   + caddc 7845   · cmul 7847   < clt 8023  cle 8024  cmin 8159   / cdiv 8660  cn 8950  2c2 9001  4c4 9003  0cn0 9207  cz 9284  +crp 9685  seqcseq 10478  cexp 10553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11063
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