resqrexlemnm - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemnm 11062

Description: Lemma for resqrex 11070. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemnm	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 𝑦,𝑀,𝑧 𝑦,𝑁,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑦,𝑧)

**Proof of Theorem resqrexlemnm**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 11051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelcdmd 5673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 9728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9	4, 8	ffvelcdmd 5673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
10	9	rpred 9728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
11	7, 10	resubcld 8369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
12	7	resqcld 10714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
13	10	resqcld 10714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	12, 13	resubcld 8369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) ∈ ℝ)
15		2cn 9021	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		expm1t 10582	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
17	15, 5, 16	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
18		2nn 9111	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
20	5	nnnn0d 9260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nnexpcld 10710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 9726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
23	17, 22	eqeltrrd 2267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 9728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ)
25	14, 24	remulcld 8019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
26		1nn 8961	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
28	4, 27	ffvelcdmd 5673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
29	19	nnzd 9405	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
30	28, 29	rpexpcld 10712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
31		4re 9027	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		4pos 9047	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
33	31, 32	elrpii 9688	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ⁺)
35	5	nnzd 9405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		peano2zm 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
38	34, 37	rpexpcld 10712	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
39	30, 38	rpdivcld 9746	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ⁺)
40	39	rpred 9728	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
41	40, 24	remulcld 8019	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
42	6, 9	rpaddcld 9744	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
43	42, 23	rpmulcld 9745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ⁺)
44	43	rpred 9728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
45	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
46	3	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
47	5	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
48	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
49		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 11056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))
51	10	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
52	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
53		difrp 9724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺))
54	51, 52, 53	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺))
55	50, 54	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
56	55	rpge0d 9732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
57	7	recnd 8017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
58	57	subidd 8287	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑁)) = 0)
59		fveq2 5534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐹‘𝑁) = (𝐹‘𝑀))
60	59	oveq2d 5913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
61	58, 60	sylan9req 2243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 0 = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
62		0re 7988	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	62	eqlei 8082	. . . . . . 7 ⊢ (0 = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
66	8	nnzd 9405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
67		zleloe 9331	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
68	35, 66, 67	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
69	65, 68	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
70	56, 64, 69	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
71		1red 8003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	21	nnrecred 8997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
73	72	recnd 8017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
74	73	addridd 8137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) = (1 / (2↑𝑁)))
75		0red 7989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
77	5, 76	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
78	9	rpgt0d 9731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)))
80	74, 79	eqbrtrrd 4042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)))
81	7, 10	readdcld 8018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 9781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁))))
83	80, 82	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁)))
84	17	oveq2d 5913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
85	83, 84	breqtrd 4044	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
86	71, 44, 85	ltled 8107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 8925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ≤ (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
88	11	recnd 8017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
89	81	recnd 8017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
90	23	rpcnd 9730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℂ)
91	88, 89, 90	mulassd 8012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
92	88, 89	mulcomd 8010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
93	10	recnd 8017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
94		subsq 10661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
95	57, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
96	92, 95	eqtr4d 2225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
97	96	oveq1d 5912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
98	91, 97	eqtr3d 2224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
99	87, 98	breqtrd 4044	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 11061	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 9784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 8113	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
103	40	recnd 8017	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
104	19	nnrpd 9726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
105	104, 37	rpexpcld 10712	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpcnd 9730	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
107		2cnd 9023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
108	103, 106, 107	mulassd 8012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
109	30	rpcnd 9730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
110	38	rpcnd 9730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
111	38	rpap0d 9734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) # 0)
112	109, 110, 106, 111	div32apd 8802	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
113		4d2e2 9110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 2) = 2
114	113	oveq1i 5907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = (2↑(𝑁 − 1))
115	34	rpcnd 9730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116	104	rpap0d 9734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
117		nnm1nn0 9248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 10702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
120	114, 119	eqtr3id 2236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
121	120	oveq2d 5913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))))
122	105	rpap0d 9734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) # 0)
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 8795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
124	121, 123	eqtrd 2222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
125	124	oveq2d 5913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
126	112, 125	eqtr4d 2225	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
127	126	oveq1d 5912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
128	108, 127	eqtr3d 2224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
129	106, 122	recclapd 8769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
130	109, 129, 107	mul32d 8141	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
131	128, 130	eqtrd 2222	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
132	109, 107	mulcld 8009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
133	132, 106, 122	divrecapd 8781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
134	131, 133	eqtr4d 2225	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
135	102, 134	breqtrd 4044	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 = wceq 1364 ∈ wcel 2160 {csn 3607 class class class wbr 4018 × cxp 4642 ‘cfv 5235 (class class class)co 5897 ∈ cmpo 5899 ℂcc 7840 ℝcr 7841 0cc0 7842 1c1 7843 + caddc 7845 · cmul 7847 < clt 8023 ≤ cle 8024 − cmin 8159 / cdiv 8660 ℕcn 8950 2c2 9001 4c4 9003 ℕ₀cn0 9207 ℤcz 9284 ℝ⁺crp 9685 seqcseq 10478 ↑cexp 10553

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-nul 4144 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-iinf 4605 ax-cnex 7933 ax-resscn 7934 ax-1cn 7935 ax-1re 7936 ax-icn 7937 ax-addcl 7938 ax-addrcl 7939 ax-mulcl 7940 ax-mulrcl 7941 ax-addcom 7942 ax-mulcom 7943 ax-addass 7944 ax-mulass 7945 ax-distr 7946 ax-i2m1 7947 ax-0lt1 7948 ax-1rid 7949 ax-0id 7950 ax-rnegex 7951 ax-precex 7952 ax-cnre 7953 ax-pre-ltirr 7954 ax-pre-ltwlin 7955 ax-pre-lttrn 7956 ax-pre-apti 7957 ax-pre-ltadd 7958 ax-pre-mulgt0 7959 ax-pre-mulext 7960

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-if 3550 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-tr 4117 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-iord 4384 df-on 4386 df-ilim 4387 df-suc 4389 df-iom 4608 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-f1 5240 df-fo 5241 df-f1o 5242 df-fv 5243 df-riota 5852 df-ov 5900 df-oprab 5901 df-mpo 5902 df-1st 6166 df-2nd 6167 df-recs 6331 df-frec 6417 df-pnf 8025 df-mnf 8026 df-xr 8027 df-ltxr 8028 df-le 8029 df-sub 8161 df-neg 8162 df-reap 8563 df-ap 8570 df-div 8661 df-inn 8951 df-2 9009 df-3 9010 df-4 9011 df-n0 9208 df-z 9285 df-uz 9560 df-rp 9686 df-seqfrec 10479 df-exp 10554

This theorem is referenced by: resqrexlemcvg 11063

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