ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemnm GIF version

Theorem resqrexlemnm 11026
Description: Lemma for resqrex 11034. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
resqrexlemnmsq.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
resqrexlemnmsq.nm (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemnm (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) < ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧   𝑦,𝑀,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem resqrexlemnm
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . . . . . 7 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (β„• Γ— {(1 + 𝐴)}))
2 resqrexlemex.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemf 11015 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆβ„+)
5 resqrexlemnmsq.n . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
64, 5ffvelcdmd 5652 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ+)
76rpred 9695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
8 resqrexlemnmsq.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
94, 8ffvelcdmd 5652 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
109rpred 9695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
117, 10resubcld 8337 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
127resqcld 10679 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘)↑2) ∈ ℝ)
1310resqcld 10679 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2) ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 8337 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) ∈ ℝ)
15 2cn 8989 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
16 expm1t 10547 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))
1715, 5, 16sylancr 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))
18 2nn 9079 . . . . . . . . 9 2 ∈ β„•
1918a1i 9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„•)
205nnnn0d 9228 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2119, 20nnexpcld 10675 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ β„•)
2221nnrpd 9693 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
2317, 22eqeltrrd 2255 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2) ∈ ℝ+)
2423rpred 9695 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2) ∈ ℝ)
2514, 24remulcld 7987 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) ∈ ℝ)
26 1nn 8929 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„•
2726a1i 9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„•)
284, 27ffvelcdmd 5652 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜1) ∈ ℝ+)
2919nnzd 9373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„€)
3028, 29rpexpcld 10677 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ ℝ+)
31 4re 8995 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
32 4pos 9015 . . . . . . . . 9 0 < 4
3331, 32elrpii 9655 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ+
3433a1i 9 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 4 ∈ ℝ+)
355nnzd 9373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
36 peano2zm 9290 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3735, 36syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
3834, 37rpexpcld 10677 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
3930, 38rpdivcld 9713 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ+)
4039rpred 9695 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
4140, 24remulcld 7987 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) ∈ ℝ)
426, 9rpaddcld 9711 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+)
4342, 23rpmulcld 9712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) ∈ ℝ+)
4443rpred 9695 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) ∈ ℝ)
452adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
463adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 0 ≀ 𝐴)
475adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
488adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
49 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 𝑁 < 𝑀)
501, 45, 46, 47, 48, 49resqrexlemdecn 11020 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘))
5110adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
527adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ)
53 difrp 9691 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+))
5451, 52, 53syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘€) < (πΉβ€˜π‘) ↔ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+))
5550, 54mpbid 147 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ+)
5655rpge0d 9699 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 < 𝑀) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)))
577recnd 7985 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚)
5857subidd 8255 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = 0)
59 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘) = (πΉβ€˜π‘€))
6059oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (𝑁 = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)))
6158, 60sylan9req 2231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 𝑀) β†’ 0 = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)))
62 0re 7956 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
6362eqlei 8050 . . . . . . 7 (0 = ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)))
6461, 63syl 14 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑁 = 𝑀) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)))
65 resqrexlemnmsq.nm . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ≀ 𝑀)
668nnzd 9373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
67 zleloe 9299 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
6835, 66, 67syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 ≀ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
6965, 68mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
7056, 64, 69mpjaodan 798 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)))
71 1red 7971 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
7221nnrecred 8965 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
7372recnd 7985 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑁)) ∈ β„‚)
7473addid1d 8105 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / (2↑𝑁)) + 0) = (1 / (2↑𝑁)))
75 0red 7957 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
761, 2, 3resqrexlemlo 11021 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘))
775, 76mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑁)) < (πΉβ€˜π‘))
789rpgt0d 9698 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘€))
7972, 75, 7, 10, 77, 78lt2addd 8523 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((1 / (2↑𝑁)) + 0) < ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)))
8074, 79eqbrtrrd 4027 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑𝑁)) < ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)))
817, 10readdcld 7986 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
8271, 81, 22ltdivmul2d 9748 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((1 / (2↑𝑁)) < ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) ↔ 1 < (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· (2↑𝑁))))
8380, 82mpbid 147 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 1 < (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· (2↑𝑁)))
8417oveq2d 5890 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· (2↑𝑁)) = (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
8583, 84breqtrd 4029 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 < (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
8671, 44, 85ltled 8075 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ≀ (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
8711, 44, 70, 86lemulge11d 8893 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ≀ (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))))
8811recnd 7985 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
8981recnd 7985 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
9023rpcnd 9697 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2) ∈ β„‚)
9188, 89, 90mulassd 7980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) = (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))))
9288, 89mulcomd 7978 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€))) = (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€))))
9310recnd 7985 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
94 subsq 10626 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) = (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€))))
9557, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) = (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€))))
9692, 95eqtr4d 2213 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€))) = (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)))
9796oveq1d 5889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) = ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
9891, 97eqtr3d 2212 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) Β· (((πΉβ€˜π‘) + (πΉβ€˜π‘€)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2))) = ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
9987, 98breqtrd 4029 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) ≀ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
1001, 2, 3, 5, 8, 65resqrexlemnmsq 11025 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) < (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))
10114, 40, 23, 100ltmul1dd 9751 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π‘)↑2) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘€)↑2)) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) < ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
10211, 25, 41, 99, 101lelttrd 8081 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) < ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
10340recnd 7985 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
10419nnrpd 9693 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
105104, 37rpexpcld 10677 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ ℝ+)
106105rpcnd 9697 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
107 2cnd 8991 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
108103, 106, 107mulassd 7980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2) = ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)))
10930rpcnd 9697 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜1)↑2) ∈ β„‚)
11038rpcnd 9697 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
11138rpap0d 9701 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (4↑(𝑁 βˆ’ 1)) # 0)
112109, 110, 106, 111div32apd 8770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
113 4d2e2 9078 . . . . . . . . . . . 12 (4 / 2) = 2
114113oveq1i 5884 . . . . . . . . . . 11 ((4 / 2)↑(𝑁 βˆ’ 1)) = (2↑(𝑁 βˆ’ 1))
11534rpcnd 9697 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 4 ∈ β„‚)
116104rpap0d 9701 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 2 # 0)
117 nnm1nn0 9216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
1185, 117syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
119115, 107, 116, 118expdivapd 10667 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((4 / 2)↑(𝑁 βˆ’ 1)) = ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
120114, 119eqtr3id 2224 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) = ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
121120oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (1 / ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
122105rpap0d 9701 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (2↑(𝑁 βˆ’ 1)) # 0)
123110, 106, 111, 122recdivapd 8763 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1 / ((4↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))
124121, 123eqtrd 2210 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) = ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))))
125124oveq2d 5890 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) = (((πΉβ€˜1)↑2) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
126112, 125eqtr4d 2213 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) = (((πΉβ€˜1)↑2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
127126oveq1d 5889 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· 2) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) Β· 2))
128108, 127eqtr3d 2212 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) Β· 2))
129106, 122recclapd 8737 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
130109, 129, 107mul32d 8109 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))) Β· 2) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
131128, 130eqtrd 2210 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
132109, 107mulcld 7977 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) ∈ β„‚)
133132, 106, 122divrecapd 8749 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) Β· (1 / (2↑(𝑁 βˆ’ 1)))))
134131, 133eqtr4d 2213 . 2 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜1)↑2) / (4↑(𝑁 βˆ’ 1))) Β· ((2↑(𝑁 βˆ’ 1)) Β· 2)) = ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
135102, 134breqtrd 4029 1 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘€)) < ((((πΉβ€˜1)↑2) Β· 2) / (2↑(𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {csn 3592   class class class wbr 4003   Γ— cxp 4624  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ∈ cmpo 5876  β„‚cc 7808  β„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   Β· cmul 7815   < clt 7991   ≀ cle 7992   βˆ’ cmin 8127   / cdiv 8628  β„•cn 8918  2c2 8969  4c4 8971  β„•0cn0 9175  β„€cz 9252  β„+crp 9652  seqcseq 10444  β†‘cexp 10518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519
This theorem is referenced by:  resqrexlemcvg  11027
  Copyright terms: Public domain W3C validator