resqrexlemnm - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem resqrexlemnm 10946

Description: Lemma for resqrex 10954. The difference between two terms of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 31-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq	⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
resqrexlemex.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
resqrexlemnmsq.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
resqrexlemnmsq.nm	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemnm	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐴,𝑧 𝜑,𝑦,𝑧 𝑦,𝑀,𝑧 𝑦,𝑁,𝑧 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑦,𝑧)

**Proof of Theorem resqrexlemnm**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		resqrexlemex.seq	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ⁺, 𝑧 ∈ ℝ⁺ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}))
2		resqrexlemex.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resqrexlemex.agt0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	1, 2, 3	resqrexlemf 10935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ⁺)
5		resqrexlemnmsq.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	4, 5	ffvelrnd 5615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ⁺)
7	6	rpred 9623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
8		resqrexlemnmsq.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
9	4, 8	ffvelrnd 5615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ⁺)
10	9	rpred 9623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
11	7, 10	resubcld 8270	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
12	7	resqcld 10603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁)↑2) ∈ ℝ)
13	10	resqcld 10603	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑀)↑2) ∈ ℝ)
14	12, 13	resubcld 8270	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) ∈ ℝ)
15		2cn 8919	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		expm1t 10473	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
17	15, 5, 16	sylancr 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) = ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))
18		2nn 9009	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
20	5	nnnn0d 9158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ₀)
21	19, 20	nnexpcld 10599	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
22	21	nnrpd 9621	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℝ⁺)
23	17, 22	eqeltrrd 2242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ⁺)
24	23	rpred 9623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℝ)
25	14, 24	remulcld 7920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
26		1nn 8859	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ
27	26	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ)
28	4, 27	ffvelrnd 5615	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) ∈ ℝ⁺)
29	19	nnzd 9303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
30	28, 29	rpexpcld 10601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℝ⁺)
31		4re 8925	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
32		4pos 8945	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 4
33	31, 32	elrpii 9583	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℝ⁺
34	33	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℝ⁺)
35	5	nnzd 9303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
36		peano2zm 9220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
37	35, 36	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
38	34, 37	rpexpcld 10601	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
39	30, 38	rpdivcld 9641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ⁺)
40	39	rpred 9623	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℝ)
41	40, 24	remulcld 7920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
42	6, 9	rpaddcld 9639	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
43	42, 23	rpmulcld 9640	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ⁺)
44	43	rpred 9623	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) ∈ ℝ)
45	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
46	3	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ 𝐴)
47	5	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℕ)
48	8	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
49		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
50	1, 45, 46, 47, 48, 49	resqrexlemdecn 10940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁))
51	10	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ)
52	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ)
53		difrp 9619	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺))
54	51, 52, 53	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑀) < (𝐹‘𝑁) ↔ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺))
55	50, 54	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ⁺)
56	55	rpge0d 9627	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
57	7	recnd 7918	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℂ)
58	57	subidd 8188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑁)) = 0)
59		fveq2 5480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐹‘𝑁) = (𝐹‘𝑀))
60	59	oveq2d 5852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑁)) = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
61	58, 60	sylan9req 2218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 0 = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
62		0re 7890	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
63	62	eqlei 7983	. . . . . . 7 ⊢ (0 = ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
64	61, 63	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
65		resqrexlemnmsq.nm	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≤ 𝑀)
66	8	nnzd 9303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
67		zleloe 9229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
68	35, 66, 67	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ≤ 𝑀 ↔ (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀)))
69	65, 68	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ 𝑁 = 𝑀))
70	56, 64, 69	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)))
71		1red 7905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
72	21	nnrecred 8895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
73	72	recnd 7918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
74	73	addid1d 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) = (1 / (2↑𝑁)))
75		0red 7891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
76	1, 2, 3	resqrexlemlo 10941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
77	5, 76	mpdan 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < (𝐹‘𝑁))
78	9	rpgt0d 9626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐹‘𝑀))
79	72, 75, 7, 10, 77, 78	lt2addd 8456	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) + 0) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)))
80	74, 79	eqbrtrrd 4000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)))
81	7, 10	readdcld 7919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℝ)
82	71, 81, 22	ltdivmul2d 9676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / (2↑𝑁)) < ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ↔ 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁))))
83	80, 82	mpbid 146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁)))
84	17	oveq2d 5852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · (2↑𝑁)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
85	83, 84	breqtrd 4002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 < (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
86	71, 44, 85	ltled 8008	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
87	11, 44, 70, 86	lemulge11d 8823	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ≤ (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
88	11	recnd 7918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
89	81	recnd 7918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) ∈ ℂ)
90	23	rpcnd 9625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((2↑(𝑁 − 1)) · 2) ∈ ℂ)
91	88, 89, 90	mulassd 7913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))))
92	88, 89	mulcomd 7911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
93	10	recnd 7918	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
94		subsq 10551	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
95	57, 93, 94	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) = (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀))))
96	92, 95	eqtr4d 2200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) = (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)))
97	96	oveq1d 5851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · ((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
98	91, 97	eqtr3d 2199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) · (((𝐹‘𝑁) + (𝐹‘𝑀)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2))) = ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
99	87, 98	breqtrd 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) ≤ ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
100	1, 2, 3, 5, 8, 65	resqrexlemnmsq 10945	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) < (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))))
101	14, 40, 23, 100	ltmul1dd 9679	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝑁)↑2) − ((𝐹‘𝑀)↑2)) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
102	11, 25, 41, 99, 101	lelttrd 8014	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
103	40	recnd 7918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
104	19	nnrpd 9621	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
105	104, 37	rpexpcld 10601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℝ⁺)
106	105	rpcnd 9625	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
107		2cnd 8921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
108	103, 106, 107	mulassd 7913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)))
109	30	rpcnd 9625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘1)↑2) ∈ ℂ)
110	38	rpcnd 9625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
111	38	rpap0d 9629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (4↑(𝑁 − 1)) # 0)
112	109, 110, 106, 111	div32apd 8701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
113		4d2e2 9008	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 / 2) = 2
114	113	oveq1i 5846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = (2↑(𝑁 − 1))
115	34	rpcnd 9625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 4 ∈ ℂ)
116	104	rpap0d 9629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 2 # 0)
117		nnm1nn0 9146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
118	5, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
119	115, 107, 116, 118	expdivapd 10591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((4 / 2)↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
120	114, 119	eqtr3id 2211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) = ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1))))
121	120	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))))
122	105	rpap0d 9629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2↑(𝑁 − 1)) # 0)
123	110, 106, 111, 122	recdivapd 8694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 / ((4↑(𝑁 − 1)) / (2↑(𝑁 − 1)))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
124	121, 123	eqtrd 2197	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) = ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1))))
125	124	oveq2d 5852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) = (((𝐹‘1)↑2) · ((2↑(𝑁 − 1)) / (4↑(𝑁 − 1)))))
126	112, 125	eqtr4d 2200	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) = (((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
127	126	oveq1d 5851	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · (2↑(𝑁 − 1))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
128	108, 127	eqtr3d 2199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2))
129	106, 122	recclapd 8668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / (2↑(𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
130	109, 129, 107	mul32d 8042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))) · 2) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
131	128, 130	eqtrd 2197	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
132	109, 107	mulcld 7910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘1)↑2) · 2) ∈ ℂ)
133	132, 106, 122	divrecapd 8680	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) · (1 / (2↑(𝑁 − 1)))))
134	131, 133	eqtr4d 2200	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘1)↑2) / (4↑(𝑁 − 1))) · ((2↑(𝑁 − 1)) · 2)) = ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))
135	102, 134	breqtrd 4002	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) − (𝐹‘𝑀)) < ((((𝐹‘1)↑2) · 2) / (2↑(𝑁 − 1))))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 698 = wceq 1342 ∈ wcel 2135 {csn 3570 class class class wbr 3976 × cxp 4596 ‘cfv 5182 (class class class)co 5836 ∈ cmpo 5838 ℂcc 7742 ℝcr 7743 0cc0 7744 1c1 7745 + caddc 7747 · cmul 7749 < clt 7924 ≤ cle 7925 − cmin 8060 / cdiv 8559 ℕcn 8848 2c2 8899 4c4 8901 ℕ₀cn0 9105 ℤcz 9182 ℝ⁺crp 9580 seqcseq 10370 ↑cexp 10444

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1434 ax-7 1435 ax-gen 1436 ax-ie1 1480 ax-ie2 1481 ax-8 1491 ax-10 1492 ax-11 1493 ax-i12 1494 ax-bndl 1496 ax-4 1497 ax-17 1513 ax-i9 1517 ax-ial 1521 ax-i5r 1522 ax-13 2137 ax-14 2138 ax-ext 2146 ax-coll 4091 ax-sep 4094 ax-nul 4102 ax-pow 4147 ax-pr 4181 ax-un 4405 ax-setind 4508 ax-iinf 4559 ax-cnex 7835 ax-resscn 7836 ax-1cn 7837 ax-1re 7838 ax-icn 7839 ax-addcl 7840 ax-addrcl 7841 ax-mulcl 7842 ax-mulrcl 7843 ax-addcom 7844 ax-mulcom 7845 ax-addass 7846 ax-mulass 7847 ax-distr 7848 ax-i2m1 7849 ax-0lt1 7850 ax-1rid 7851 ax-0id 7852 ax-rnegex 7853 ax-precex 7854 ax-cnre 7855 ax-pre-ltirr 7856 ax-pre-ltwlin 7857 ax-pre-lttrn 7858 ax-pre-apti 7859 ax-pre-ltadd 7860 ax-pre-mulgt0 7861 ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 968 df-3an 969 df-tru 1345 df-fal 1348 df-nf 1448 df-sb 1750 df-eu 2016 df-mo 2017 df-clab 2151 df-cleq 2157 df-clel 2160 df-nfc 2295 df-ne 2335 df-nel 2430 df-ral 2447 df-rex 2448 df-reu 2449 df-rmo 2450 df-rab 2451 df-v 2723 df-sbc 2947 df-csb 3041 df-dif 3113 df-un 3115 df-in 3117 df-ss 3124 df-nul 3405 df-if 3516 df-pw 3555 df-sn 3576 df-pr 3577 df-op 3579 df-uni 3784 df-int 3819 df-iun 3862 df-br 3977 df-opab 4038 df-mpt 4039 df-tr 4075 df-id 4265 df-po 4268 df-iso 4269 df-iord 4338 df-on 4340 df-ilim 4341 df-suc 4343 df-iom 4562 df-xp 4604 df-rel 4605 df-cnv 4606 df-co 4607 df-dm 4608 df-rn 4609 df-res 4610 df-ima 4611 df-iota 5147 df-fun 5184 df-fn 5185 df-f 5186 df-f1 5187 df-fo 5188 df-f1o 5189 df-fv 5190 df-riota 5792 df-ov 5839 df-oprab 5840 df-mpo 5841 df-1st 6100 df-2nd 6101 df-recs 6264 df-frec 6350 df-pnf 7926 df-mnf 7927 df-xr 7928 df-ltxr 7929 df-le 7930 df-sub 8062 df-neg 8063 df-reap 8464 df-ap 8471 df-div 8560 df-inn 8849 df-2 8907 df-3 8908 df-4 8909 df-n0 9106 df-z 9183 df-uz 9458 df-rp 9581 df-seqfrec 10371 df-exp 10445

This theorem is referenced by: resqrexlemcvg 10947

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