Theorem coseq0negpitopi 15701

Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
2		pire 15651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 8535	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	rexri 8331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
5		elioc2 10269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
6	4, 2, 5	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1bi 1039	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		halfpire 15657	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11	10	renegcli 8535	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) ∈ ℝ)
13		4re 9314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		4ap0 9336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
15	2, 13, 14	redivclapi 9053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
16	15	renegcli 8535	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 4) ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) ∈ ℝ)
18		2lt4 9411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
19		2re 9307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		2pos 9328	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
21	19, 20	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
22		4pos 9334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
23	13, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
24		pipos 15653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
25	2, 24	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
26		ltdiv2 9161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2)))
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2))
28	18, 27	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) < (π / 2)
29	15, 10	ltnegi 8767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 4) < (π / 2) ↔ -(π / 2) < -(π / 4))
30	28, 29	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < -(π / 4)
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < -(π / 4))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) < 𝐴)
33	12, 17, 9, 31, 32	lttrd 8399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < 𝐴)
34	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π ∈ ℝ)
35		3re 9311	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36	35, 10	remulcli 8288	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
37	36	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
38	6	simp3bi 1041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ≤ π)
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
40		2lt3 9408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
41		3pos 9331	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
42	35, 41	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43		ltdiv2 9161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
44	21, 42, 25, 43	mp3an 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
45	40, 44	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
46		ltdivmul 9150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
47	2, 10, 42, 46	mp3an 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ π < (3 · (π / 2))
49	48	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π < (3 · (π / 2)))
50	9, 34, 37, 39, 49	lelttrd 8398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
51	11	rexri 8331	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
52	36	rexri 8331	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
53		elioo2 10254	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
54	51, 52, 53	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
55	9, 33, 50, 54	syl3anbrc 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
56		coseq0q4123 15699	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
58	1, 57	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
59		prid1g 3795	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
60		eleq1a 2304	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
61	10, 59, 60	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
62	58, 61	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
63	8	recnd 8302	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		cosneg 12413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
67		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘𝐴) = 0)
68	66, 67	eqtrd 2265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
69	8	renegcld 8653	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
71		0re 8274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
72	71	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
73		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
74	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	74	lt0neg1d 8789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
76	73, 75	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
77	72, 70, 76	ltled 8392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
78	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → π ∈ ℝ)
79	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80	6	simp2bi 1040	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → -π < 𝐴)
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
82	79, 8, 81	ltnegcon1d 8799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < π)
84	70, 78, 83	ltled 8392	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≤ π)
85	71, 2	elicc2i 10272	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
86	70, 77, 84, 85	syl3anbrc 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
87		coseq00topi 15700	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
89	68, 88	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (π / 2))
90	64, 89	negcon1ad 8579	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2238	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 = -(π / 2))
92		prid2g 3796	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
93		eleq1a 2304	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
94	11, 92, 93	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
95	91, 94	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
96		pirp 15654	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
97	13, 22	elrpii 9989	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
98		rpdivcl 10012	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
99	96, 97, 98	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ+
100		rpgt0 9998	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 4)
102		lt0neg2 8743	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0))
103	15, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0)
104	101, 103	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -(π / 4) < 0
105		axltwlin 8341	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
106	16, 71, 8, 105	mp3an12i 1378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
107	104, 106	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
108	62, 95, 107	mpjaodan 806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
109		elpri 3712	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
110		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
111		coshalfpi 15662	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
112	110, 111	eqtrdi 2281	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
113		fveq2 5670	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
114		cosneghalfpi 15663	. . . . . 6 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2281	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
116	112, 115	jaoi 724	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
117	109, 116	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
118	117	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
119	108, 118	impbida 600	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cpr 3690   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  ℂcc 8125  ℝcr 8126  0cc0 8127   · cmul 8132  ℝ^*cxr 8307   < clt 8308   ≤ cle 8309  -cneg 8445   / cdiv 8946  2c2 9288  3c3 9289  4c4 9290  ℝ⁺crp 9986  (,)cioo 10221  (,]cioc 10222  [,]cicc 10224  cosccos 12331  πcpi 12333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247  ax-pre-suploc 8248  ax-addf 8249  ax-mulf 8250

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-disj 4086  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-map 6884  df-pm 6885  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-sup 7275  df-inf 7276  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-xneg 10105  df-xadd 10106  df-ioo 10225  df-ioc 10226  df-ico 10227  df-icc 10228  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-fac 11088  df-bc 11110  df-ihash 11139  df-shft 11500  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-sumdc 12039  df-ef 12334  df-sin 12336  df-cos 12337  df-pi 12339  df-rest 13454  df-topgen 13473  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-met 14693  df-bl 14694  df-mopn 14695  df-top 14863  df-topon 14876  df-bases 14908  df-ntr 14961  df-cn 15053  df-cnp 15054  df-tx 15118  df-cncf 15436  df-limced 15521  df-dvap 15522

This theorem is referenced by: (None)