Theorem coseq0negpitopi 15279

Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
2		pire 15229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 8333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	rexri 8129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
5		elioc2 10057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
6	4, 2, 5	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1bi 1014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		halfpire 15235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11	10	renegcli 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) ∈ ℝ)
13		4re 9112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		4ap0 9134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
15	2, 13, 14	redivclapi 8851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
16	15	renegcli 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 4) ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) ∈ ℝ)
18		2lt4 9209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
19		2re 9105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		2pos 9126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
21	19, 20	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
22		4pos 9132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
23	13, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
24		pipos 15231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
25	2, 24	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
26		ltdiv2 8959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2)))
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2))
28	18, 27	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) < (π / 2)
29	15, 10	ltnegi 8565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 4) < (π / 2) ↔ -(π / 2) < -(π / 4))
30	28, 29	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < -(π / 4)
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < -(π / 4))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) < 𝐴)
33	12, 17, 9, 31, 32	lttrd 8197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < 𝐴)
34	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π ∈ ℝ)
35		3re 9109	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36	35, 10	remulcli 8085	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
37	36	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
38	6	simp3bi 1016	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ≤ π)
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
40		2lt3 9206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
41		3pos 9129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
42	35, 41	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43		ltdiv2 8959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
44	21, 42, 25, 43	mp3an 1349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
45	40, 44	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
46		ltdivmul 8948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
47	2, 10, 42, 46	mp3an 1349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ π < (3 · (π / 2))
49	48	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π < (3 · (π / 2)))
50	9, 34, 37, 39, 49	lelttrd 8196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
51	11	rexri 8129	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
52	36	rexri 8129	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
53		elioo2 10042	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
54	51, 52, 53	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
55	9, 33, 50, 54	syl3anbrc 1183	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
56		coseq0q4123 15277	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
58	1, 57	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
59		prid1g 3736	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
60		eleq1a 2276	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
61	10, 59, 60	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
62	58, 61	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
63	8	recnd 8100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		cosneg 12009	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
67		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘𝐴) = 0)
68	66, 67	eqtrd 2237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
69	8	renegcld 8451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
71		0re 8071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
72	71	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
73		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
74	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	74	lt0neg1d 8587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
76	73, 75	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
77	72, 70, 76	ltled 8190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
78	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → π ∈ ℝ)
79	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80	6	simp2bi 1015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → -π < 𝐴)
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
82	79, 8, 81	ltnegcon1d 8597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < π)
84	70, 78, 83	ltled 8190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≤ π)
85	71, 2	elicc2i 10060	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
86	70, 77, 84, 85	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
87		coseq00topi 15278	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
89	68, 88	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (π / 2))
90	64, 89	negcon1ad 8377	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2210	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 = -(π / 2))
92		prid2g 3737	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
93		eleq1a 2276	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
94	11, 92, 93	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
95	91, 94	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
96		pirp 15232	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
97	13, 22	elrpii 9777	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
98		rpdivcl 9800	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
99	96, 97, 98	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ+
100		rpgt0 9786	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 4)
102		lt0neg2 8541	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0))
103	15, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0)
104	101, 103	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -(π / 4) < 0
105		axltwlin 8139	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
106	16, 71, 8, 105	mp3an12i 1353	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
107	104, 106	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
108	62, 95, 107	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
109		elpri 3655	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
110		fveq2 5575	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
111		coshalfpi 15240	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
112	110, 111	eqtrdi 2253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
113		fveq2 5575	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
114		cosneghalfpi 15241	. . . . . 6 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
116	112, 115	jaoi 717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
117	109, 116	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
118	117	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
119	108, 118	impbida 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  {cpr 3633   class class class wbr 4043  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  ℝcr 7923  0cc0 7924   · cmul 7929  ℝ^*cxr 8105   < clt 8106   ≤ cle 8107  -cneg 8243   / cdiv 8744  2c2 9086  3c3 9087  4c4 9088  ℝ⁺crp 9774  (,)cioo 10009  (,]cioc 10010  [,]cicc 10012  cosccos 11927  πcpi 11929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ioc 10014  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11097  df-cj 11124  df-re 11125  df-im 11126  df-rsqrt 11280  df-abs 11281  df-clim 11561  df-sumdc 11636  df-ef 11930  df-sin 11932  df-cos 11933  df-pi 11935  df-rest 13044  df-topgen 13063  df-psmet 14276  df-xmet 14277  df-met 14278  df-bl 14279  df-mopn 14280  df-top 14441  df-topon 14454  df-bases 14486  df-ntr 14539  df-cn 14631  df-cnp 14632  df-tx 14696  df-cncf 15014  df-limced 15099  df-dvap 15100

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