Theorem coseq0negpitopi 15579

Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
2		pire 15529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 8441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	rexri 8237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
5		elioc2 10171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
6	4, 2, 5	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1bi 1038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		halfpire 15535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11	10	renegcli 8441	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) ∈ ℝ)
13		4re 9220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		4ap0 9242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
15	2, 13, 14	redivclapi 8959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
16	15	renegcli 8441	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 4) ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) ∈ ℝ)
18		2lt4 9317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
19		2re 9213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		2pos 9234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
21	19, 20	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
22		4pos 9240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
23	13, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
24		pipos 15531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
25	2, 24	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
26		ltdiv2 9067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2)))
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2))
28	18, 27	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) < (π / 2)
29	15, 10	ltnegi 8673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 4) < (π / 2) ↔ -(π / 2) < -(π / 4))
30	28, 29	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < -(π / 4)
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < -(π / 4))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) < 𝐴)
33	12, 17, 9, 31, 32	lttrd 8305	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < 𝐴)
34	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π ∈ ℝ)
35		3re 9217	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36	35, 10	remulcli 8193	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
37	36	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
38	6	simp3bi 1040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ≤ π)
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
40		2lt3 9314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
41		3pos 9237	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
42	35, 41	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43		ltdiv2 9067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
44	21, 42, 25, 43	mp3an 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
45	40, 44	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
46		ltdivmul 9056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
47	2, 10, 42, 46	mp3an 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ π < (3 · (π / 2))
49	48	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π < (3 · (π / 2)))
50	9, 34, 37, 39, 49	lelttrd 8304	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
51	11	rexri 8237	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
52	36	rexri 8237	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
53		elioo2 10156	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
54	51, 52, 53	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
55	9, 33, 50, 54	syl3anbrc 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
56		coseq0q4123 15577	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
58	1, 57	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
59		prid1g 3775	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
60		eleq1a 2303	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
61	10, 59, 60	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
62	58, 61	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
63	8	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		cosneg 12306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
67		simplr 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘𝐴) = 0)
68	66, 67	eqtrd 2264	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
69	8	renegcld 8559	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
71		0re 8179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
72	71	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
73		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
74	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	74	lt0neg1d 8695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
76	73, 75	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
77	72, 70, 76	ltled 8298	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
78	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → π ∈ ℝ)
79	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80	6	simp2bi 1039	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → -π < 𝐴)
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
82	79, 8, 81	ltnegcon1d 8705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < π)
84	70, 78, 83	ltled 8298	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≤ π)
85	71, 2	elicc2i 10174	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
86	70, 77, 84, 85	syl3anbrc 1207	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
87		coseq00topi 15578	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
89	68, 88	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (π / 2))
90	64, 89	negcon1ad 8485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2237	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 = -(π / 2))
92		prid2g 3776	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
93		eleq1a 2303	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
94	11, 92, 93	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
95	91, 94	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
96		pirp 15532	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
97	13, 22	elrpii 9891	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
98		rpdivcl 9914	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
99	96, 97, 98	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ+
100		rpgt0 9900	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 4)
102		lt0neg2 8649	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0))
103	15, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0)
104	101, 103	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -(π / 4) < 0
105		axltwlin 8247	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
106	16, 71, 8, 105	mp3an12i 1377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
107	104, 106	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
108	62, 95, 107	mpjaodan 805	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
109		elpri 3692	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
110		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
111		coshalfpi 15540	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
112	110, 111	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
113		fveq2 5639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
114		cosneghalfpi 15541	. . . . . 6 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
116	112, 115	jaoi 723	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
117	109, 116	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
118	117	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
119	108, 118	impbida 600	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032   · cmul 8037  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214   ≤ cle 8215  -cneg 8351   / cdiv 8852  2c2 9194  3c3 9195  4c4 9196  ℝ⁺crp 9888  (,)cioo 10123  (,]cioc 10124  [,]cicc 10126  cosccos 12224  πcpi 12226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11393  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422  df-rsqrt 11576  df-abs 11577  df-clim 11857  df-sumdc 11932  df-ef 12227  df-sin 12229  df-cos 12230  df-pi 12232  df-rest 13342  df-topgen 13361  df-psmet 14576  df-xmet 14577  df-met 14578  df-bl 14579  df-mopn 14580  df-top 14741  df-topon 14754  df-bases 14786  df-ntr 14839  df-cn 14931  df-cnp 14932  df-tx 14996  df-cncf 15314  df-limced 15399  df-dvap 15400

This theorem is referenced by: (None)