Theorem coseq0negpitopi 15550

Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
2		pire 15500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 8431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	rexri 8227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
5		elioc2 10161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
6	4, 2, 5	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1bi 1036	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		halfpire 15506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11	10	renegcli 8431	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) ∈ ℝ)
13		4re 9210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		4ap0 9232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
15	2, 13, 14	redivclapi 8949	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
16	15	renegcli 8431	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 4) ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) ∈ ℝ)
18		2lt4 9307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
19		2re 9203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		2pos 9224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
21	19, 20	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
22		4pos 9230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
23	13, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
24		pipos 15502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
25	2, 24	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
26		ltdiv2 9057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2)))
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2))
28	18, 27	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) < (π / 2)
29	15, 10	ltnegi 8663	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 4) < (π / 2) ↔ -(π / 2) < -(π / 4))
30	28, 29	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < -(π / 4)
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < -(π / 4))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) < 𝐴)
33	12, 17, 9, 31, 32	lttrd 8295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < 𝐴)
34	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π ∈ ℝ)
35		3re 9207	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36	35, 10	remulcli 8183	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
37	36	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
38	6	simp3bi 1038	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ≤ π)
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
40		2lt3 9304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
41		3pos 9227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
42	35, 41	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43		ltdiv2 9057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
44	21, 42, 25, 43	mp3an 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
45	40, 44	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
46		ltdivmul 9046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
47	2, 10, 42, 46	mp3an 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ π < (3 · (π / 2))
49	48	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π < (3 · (π / 2)))
50	9, 34, 37, 39, 49	lelttrd 8294	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
51	11	rexri 8227	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
52	36	rexri 8227	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
53		elioo2 10146	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
54	51, 52, 53	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
55	9, 33, 50, 54	syl3anbrc 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
56		coseq0q4123 15548	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
58	1, 57	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
59		prid1g 3773	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
60		eleq1a 2301	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
61	10, 59, 60	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
62	58, 61	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
63	8	recnd 8198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		cosneg 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
67		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘𝐴) = 0)
68	66, 67	eqtrd 2262	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
69	8	renegcld 8549	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
71		0re 8169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
72	71	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
73		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
74	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	74	lt0neg1d 8685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
76	73, 75	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
77	72, 70, 76	ltled 8288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
78	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → π ∈ ℝ)
79	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80	6	simp2bi 1037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → -π < 𝐴)
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
82	79, 8, 81	ltnegcon1d 8695	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < π)
84	70, 78, 83	ltled 8288	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≤ π)
85	71, 2	elicc2i 10164	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
86	70, 77, 84, 85	syl3anbrc 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
87		coseq00topi 15549	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
89	68, 88	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (π / 2))
90	64, 89	negcon1ad 8475	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 = -(π / 2))
92		prid2g 3774	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
93		eleq1a 2301	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
94	11, 92, 93	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
95	91, 94	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
96		pirp 15503	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
97	13, 22	elrpii 9881	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
98		rpdivcl 9904	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
99	96, 97, 98	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ+
100		rpgt0 9890	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 4)
102		lt0neg2 8639	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0))
103	15, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0)
104	101, 103	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -(π / 4) < 0
105		axltwlin 8237	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
106	16, 71, 8, 105	mp3an12i 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
107	104, 106	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
108	62, 95, 107	mpjaodan 803	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
109		elpri 3690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
110		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
111		coshalfpi 15511	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
112	110, 111	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
113		fveq2 5635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
114		cosneghalfpi 15512	. . . . . 6 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
116	112, 115	jaoi 721	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
117	109, 116	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
118	117	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
119	108, 118	impbida 598	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3668   class class class wbr 4086  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022   · cmul 8027  ℝ^*cxr 8203   < clt 8204   ≤ cle 8205  -cneg 8341   / cdiv 8842  2c2 9184  3c3 9185  4c4 9186  ℝ⁺crp 9878  (,)cioo 10113  (,]cioc 10114  [,]cicc 10116  cosccos 12196  πcpi 12198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142  ax-pre-suploc 8143  ax-addf 8144  ax-mulf 8145

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-disj 4063  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-pm 6815  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-ioo 10117  df-ioc 10118  df-ico 10119  df-icc 10120  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-bc 11000  df-ihash 11028  df-shft 11366  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-sin 12201  df-cos 12202  df-pi 12204  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-cn 14902  df-cnp 14903  df-tx 14967  df-cncf 15285  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by: (None)