Theorem coseq0negpitopi 14553

Description: Location of the zeroes of cosine in (-π(,]π). (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
coseq0negpitopi	⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Proof of Theorem coseq0negpitopi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (cos‘𝐴) = 0)
2		pire 14503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 8233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	rexri 8029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -π ∈ ℝ*
5		elioc2 9950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)))
6	4, 2, 5	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -π < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π))
7	6	simp1bi 1013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		halfpire 14509	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
11	10	renegcli 8233	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ
12	11	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) ∈ ℝ)
13		4re 9010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℝ
14		4ap0 9032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 # 0
15	2, 13, 14	redivclapi 8750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ
16	15	renegcli 8233	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 4) ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) ∈ ℝ)
18		2lt4 9106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 4
19		2re 9003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
20		2pos 9024	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
21	19, 20	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
22		4pos 9030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 4
23	13, 22	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
24		pipos 14505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < π
25	2, 24	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)
26		ltdiv2 8858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2)))
27	21, 23, 25, 26	mp3an 1347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 4 ↔ (π / 4) < (π / 2))
28	18, 27	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 4) < (π / 2)
29	15, 10	ltnegi 8464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 4) < (π / 2) ↔ -(π / 2) < -(π / 4))
30	28, 29	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ -(π / 2) < -(π / 4)
31	30	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < -(π / 4))
32		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 4) < 𝐴)
33	12, 17, 9, 31, 32	lttrd 8097	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → -(π / 2) < 𝐴)
34	2	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π ∈ ℝ)
35		3re 9007	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36	35, 10	remulcli 7985	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ
37	36	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → (3 · (π / 2)) ∈ ℝ)
38	6	simp3bi 1015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → 𝐴 ≤ π)
39	38	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ≤ π)
40		2lt3 9103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
41		3pos 9027	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 3
42	35, 41	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)
43		ltdiv2 8858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2)))
44	21, 42, 25, 43	mp3an 1347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 < 3 ↔ (π / 3) < (π / 2))
45	40, 44	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (π / 3) < (π / 2)
46		ltdivmul 8847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2))))
47	2, 10, 42, 46	mp3an 1347	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π / 3) < (π / 2) ↔ π < (3 · (π / 2)))
48	45, 47	mpbi 145	. . . . . . . . 9 ⊢ π < (3 · (π / 2))
49	48	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → π < (3 · (π / 2)))
50	9, 34, 37, 39, 49	lelttrd 8096	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 < (3 · (π / 2)))
51	11	rexri 8029	. . . . . . . 8 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
52	36	rexri 8029	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*
53		elioo2 9935	. . . . . . . 8 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (3 · (π / 2)) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2)))))
54	51, 52, 53	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (3 · (π / 2))))
55	9, 33, 50, 54	syl3anbrc 1182	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))))
56		coseq0q4123 14551	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(3 · (π / 2))) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
57	55, 56	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = (π / 2)))
58	1, 57	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 = (π / 2))
59		prid1g 3708	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
60		eleq1a 2259	. . . . 5 ⊢ ((π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
61	10, 59, 60	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
62	58, 61	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ -(π / 4) < 𝐴) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
63	8	recnd 8000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
64	63	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65		cosneg 11749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
67		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘𝐴) = 0)
68	66, 67	eqtrd 2220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (cos‘-𝐴) = 0)
69	8	renegcld 8351	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
70	69	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
71		0re 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
72	71	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
73		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
74	8	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	74	lt0neg1d 8486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
76	73, 75	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
77	72, 70, 76	ltled 8090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ≤ -𝐴)
78	2	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → π ∈ ℝ)
79	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → π ∈ ℝ)
80	6	simp2bi 1014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → -π < 𝐴)
81	80	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -π < 𝐴)
82	79, 8, 81	ltnegcon1d 8496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → -𝐴 < π)
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < π)
84	70, 78, 83	ltled 8090	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ≤ π)
85	71, 2	elicc2i 9953	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -𝐴 ∧ -𝐴 ≤ π))
86	70, 77, 84, 85	syl3anbrc 1182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ (0[,]π))
87		coseq00topi 14552	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ (0[,]π) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
88	86, 87	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → ((cos‘-𝐴) = 0 ↔ -𝐴 = (π / 2)))
89	68, 88	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (π / 2))
90	64, 89	negcon1ad 8277	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) = 𝐴)
91	90	eqcomd 2193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 = -(π / 2))
92		prid2g 3709	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ ℝ → -(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
93		eleq1a 2259	. . . . 5 ⊢ (-(π / 2) ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))
94	11, 92, 93	mp2b 8	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
95	91, 94	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
96		pirp 14506	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ+
97	13, 22	elrpii 9670	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ+
98		rpdivcl 9693	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (π / 4) ∈ ℝ+)
99	96, 97, 98	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (π / 4) ∈ ℝ+
100		rpgt0 9679	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 4))
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0 < (π / 4)
102		lt0neg2 8440	. . . . . 6 ⊢ ((π / 4) ∈ ℝ → (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0))
103	15, 102	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 < (π / 4) ↔ -(π / 4) < 0)
104	101, 103	mpbi 145	. . . 4 ⊢ -(π / 4) < 0
105		axltwlin 8039	. . . . 5 ⊢ ((-(π / 4) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
106	16, 71, 8, 105	mp3an12i 1351	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 0 → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0)))
107	104, 106	mpi 15	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → (-(π / 4) < 𝐴 ∨ 𝐴 < 0))
108	62, 95, 107	mpjaodan 799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ (cos‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)})
109		elpri 3627	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)))
110		fveq2 5527	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘(π / 2)))
111		coshalfpi 14514	. . . . . 6 ⊢ (cos‘(π / 2)) = 0
112	110, 111	eqtrdi 2236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = (π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
113		fveq2 5527	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = (cos‘-(π / 2)))
114		cosneghalfpi 14515	. . . . . 6 ⊢ (cos‘-(π / 2)) = 0
115	113, 114	eqtrdi 2236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -(π / 2) → (cos‘𝐴) = 0)
116	112, 115	jaoi 717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = (π / 2) ∨ 𝐴 = -(π / 2)) → (cos‘𝐴) = 0)
117	109, 116	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)} → (cos‘𝐴) = 0)
118	117	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (-π(,]π) ∧ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}) → (cos‘𝐴) = 0)
119	108, 118	impbida 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-π(,]π) → ((cos‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 ∈ {(π / 2), -(π / 2)}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cpr 3605   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824  0cc0 7825   · cmul 7830  ℝ^*cxr 8005   < clt 8006   ≤ cle 8007  -cneg 8143   / cdiv 8643  2c2 8984  3c3 8985  4c4 8986  ℝ⁺crp 9667  (,)cioo 9902  (,]cioc 9903  [,]cicc 9905  cosccos 11667  πcpi 11669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-pre-suploc 7946  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6097  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-map 6664  df-pm 6665  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-ioo 9906  df-ioc 9907  df-ico 9908  df-icc 9909  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-sin 11672  df-cos 11673  df-pi 11675  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-ntr 13892  df-cn 13984  df-cnp 13985  df-tx 14049  df-cncf 14354  df-limced 14421  df-dvap 14422

This theorem is referenced by: (None)