ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euexex GIF version

Theorem euexex 2033
Description: Existential uniqueness and "at most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
euexex.1 𝑦𝜑
Assertion
Ref Expression
euexex ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))

Proof of Theorem euexex
StepHypRef Expression
1 eu5 1995 . . 3 (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
2 nfmo1 1960 . . . . . 6 𝑥∃*𝑥𝜑
3 nfa1 1479 . . . . . . 7 𝑥𝑥∃*𝑦𝜓
4 nfe1 1430 . . . . . . . 8 𝑥𝑥(𝜑𝜓)
54nfmo 1968 . . . . . . 7 𝑥∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)
63, 5nfim 1509 . . . . . 6 𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
72, 6nfim 1509 . . . . 5 𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
8 euexex.1 . . . . . . 7 𝑦𝜑
98nfmo 1968 . . . . . . 7 𝑦∃*𝑥𝜑
10 mopick 2026 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑𝜓)) → (𝜑𝜓))
1110ex 113 . . . . . . . 8 (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → (𝜑𝜓)))
1211com3r 78 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓)))
138, 9, 12alrimd 1546 . . . . . 6 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓)))
14 moim 2012 . . . . . . 7 (∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
1514spsd 1476 . . . . . 6 (∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
1613, 15syl6 33 . . . . 5 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
177, 16exlimi 1530 . . . 4 (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
1817imp 122 . . 3 ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
191, 18sylbi 119 . 2 (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
2019imp 122 1 ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wal 1287  wnf 1394  wex 1426  ∃!weu 1948  ∃*wmo 1949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952
This theorem is referenced by:  mosubt  2790  funco  5040
  Copyright terms: Public domain W3C validator