Theorem euexex 2099

Description: Existential uniqueness and "at most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
euexex.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑

Assertion

Ref	Expression
euexex	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))

Proof of Theorem euexex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eu5 2061	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
2		nfmo1 2026	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥𝜑
3		nfa1 1529	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥∃*𝑦𝜓
4		nfe1 1484	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)
5	4	nfmo 2034	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)
6	3, 5	nfim 1560	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
7	2, 6	nfim 1560	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
8		euexex.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
9	8	nfmo 2034	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑥𝜑
10		mopick 2092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
11	10	ex 114	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓)))
12	11	com3r 79	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
13	8, 9, 12	alrimd 1598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
14		moim 2078	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
15	14	spsd 1526	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
16	13, 15	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
17	7, 16	exlimi 1582	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
18	17	imp 123	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
19	1, 18	sylbi 120	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
20	19	imp 123	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ∀wal 1341  Ⅎwnf 1448  ∃wex 1480  ∃!weu 2014  ∃*wmo 2015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018

This theorem is referenced by:  mosubt  2903  funco  5228