ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  euexex GIF version

Theorem euexex 2111
Description: Existential uniqueness and "at most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
euexex.1 𝑦𝜑
Assertion
Ref Expression
euexex ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))

Proof of Theorem euexex
StepHypRef Expression
1 eu5 2073 . . 3 (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
2 nfmo1 2038 . . . . . 6 𝑥∃*𝑥𝜑
3 nfa1 1541 . . . . . . 7 𝑥𝑥∃*𝑦𝜓
4 nfe1 1496 . . . . . . . 8 𝑥𝑥(𝜑𝜓)
54nfmo 2046 . . . . . . 7 𝑥∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)
63, 5nfim 1572 . . . . . 6 𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
72, 6nfim 1572 . . . . 5 𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
8 euexex.1 . . . . . . 7 𝑦𝜑
98nfmo 2046 . . . . . . 7 𝑦∃*𝑥𝜑
10 mopick 2104 . . . . . . . . 9 ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑𝜓)) → (𝜑𝜓))
1110ex 115 . . . . . . . 8 (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → (𝜑𝜓)))
1211com3r 79 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓)))
138, 9, 12alrimd 1610 . . . . . 6 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓)))
14 moim 2090 . . . . . . 7 (∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
1514spsd 1538 . . . . . 6 (∀𝑦(∃𝑥(𝜑𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
1613, 15syl6 33 . . . . 5 (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
177, 16exlimi 1594 . . . 4 (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))))
1817imp 124 . . 3 ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
191, 18sylbi 121 . 2 (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓)))
2019imp 124 1 ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦𝑥(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wal 1351  wnf 1460  wex 1492  ∃!weu 2026  ∃*wmo 2027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030
This theorem is referenced by:  mosubt  2914  funco  5252
  Copyright terms: Public domain W3C validator