Theorem euexex 2139

Description: Existential uniqueness and "at most one" double quantification. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
euexex.1	⊢ Ⅎ𝑦𝜑

Assertion

Ref	Expression
euexex	⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))

Proof of Theorem euexex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eu5 2101	. . 3 ⊢ (∃!𝑥𝜑 ↔ (∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑))
2		nfmo1 2066	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑥𝜑
3		nfa1 1564	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥∃*𝑦𝜓
4		nfe1 1519	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)
5	4	nfmo 2074	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)
6	3, 5	nfim 1595	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥(∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
7	2, 6	nfim 1595	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
8		euexex.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
9	8	nfmo 2074	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦∃*𝑥𝜑
10		mopick 2132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃*𝑥𝜑 ∧ ∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 → 𝜓))
11	10	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜑 → 𝜓)))
12	11	com3r 79	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
13	8, 9, 12	alrimd 1633	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → ∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)))
14		moim 2118	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
15	14	spsd 1561	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
16	13, 15	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
17	7, 16	exlimi 1617	. . . 4 ⊢ (∃𝑥𝜑 → (∃*𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))))
18	17	imp 124	. . 3 ⊢ ((∃𝑥𝜑 ∧ ∃*𝑥𝜑) → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
19	1, 18	sylbi 121	. 2 ⊢ (∃!𝑥𝜑 → (∀𝑥∃*𝑦𝜓 → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
20	19	imp 124	1 ⊢ ((∃!𝑥𝜑 ∧ ∀𝑥∃*𝑦𝜓) → ∃*𝑦∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1371  Ⅎwnf 1483  ∃wex 1515  ∃!weu 2054  ∃*wmo 2055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058

This theorem is referenced by:  mosubt  2950  funco  5311