Theorem ifex 4537

Description: Existence of the conditional operator (inference form). (Contributed by NM, 2-Sep-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ifex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ifex	⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ V

Proof of Theorem ifex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ifex.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ifexg 4536	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  ifcif 3572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pr 4257  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-uni 3853

This theorem is referenced by:  elply2  15251  nnnninfex  16033