Theorem mul4i 7934

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 16-Feb-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
mul.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
mul.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
mul.3	⊢ 𝐶 ∈ ℂ
mul4.4	⊢ 𝐷 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
mul4i	⊢ ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem mul4i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		mul.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3		mul.3	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
4		mul4.4	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
5		mul4 7918	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
6	1, 2, 3, 4, 5	mp4an 424	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  (class class class)co 5782  ℂcc 7642   · cmul 7649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-mulcl 7742  ax-mulcom 7745  ax-mulass 7747

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-iota 5096  df-fv 5139  df-ov 5785

This theorem is referenced by: (None)