Theorem mul4 8421

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul32 8419	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
2	1	oveq1d 6073	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
3	2	3expa 1230	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
4	3	adantrr 479	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
5		mulcl 8270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
6		mulass 8274	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
7	6	3expb 1231	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
8	5, 7	sylan 283	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
9		mulcl 8270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulass 8274	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
11	10	3expb 1231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
12	9, 11	sylan 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
13	12	an4s 592	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2275	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141   · cmul 8148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216  ax-mulcl 8241  ax-mulcom 8244  ax-mulass 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-iota 5317  df-fv 5365  df-ov 6061

This theorem is referenced by:  mul4i  8437  mul4d  8444  recextlem1  8942  divmuldivap  9003  mulexp  10964  demoivreALT  12485