ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul4 GIF version

Theorem mul4 7887
Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4
StepHypRef Expression
1 mul32 7885 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
21oveq1d 5782 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
323expa 1181 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
43adantrr 470 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
5 mulcl 7740 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
6 mulass 7744 . . . 4 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
763expb 1182 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
85, 7sylan 281 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
9 mulcl 7740 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10 mulass 7744 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
11103expb 1182 . . . 4 (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
129, 11sylan 281 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
1312an4s 577 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
144, 8, 133eqtr3d 2178 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5767  cc 7611   · cmul 7618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-mulcl 7711  ax-mulcom 7714  ax-mulass 7716
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126  df-ov 5770
This theorem is referenced by:  mul4i  7903  mul4d  7910  recextlem1  8405  divmuldivap  8465  mulexp  10325  demoivreALT  11469
  Copyright terms: Public domain W3C validator