Theorem poltletr 5168

Description: Transitive law for general strict orders. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
poltletr	⊢ ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵(𝑅 ∪ I )𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))

Proof of Theorem poltletr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poleloe 5167	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (𝐵(𝑅 ∪ I )𝐶 ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
2	1	3ad2ant3 1047	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵(𝑅 ∪ I )𝐶 ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵(𝑅 ∪ I )𝐶 ↔ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)))
4	3	anbi2d 464	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵(𝑅 ∪ I )𝐶) ↔ (𝐴𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶))))
5		potr 4434	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
6	5	com12 30	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐶) → ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴𝑅𝐶))
7		breq2 4118	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐶 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴𝑅𝐶))
8	7	biimpac 298	. . . . 5 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵 = 𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
9	8	a1d 22	. . . 4 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵 = 𝐶) → ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴𝑅𝐶))
10	6, 9	jaodan 805	. . 3 ⊢ ((𝐴𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)) → ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴𝑅𝐶))
11	10	com12 30	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ (𝐵𝑅𝐶 ∨ 𝐵 = 𝐶)) → 𝐴𝑅𝐶))
12	4, 11	sylbid 150	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝑋 ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝑅𝐵 ∧ 𝐵(𝑅 ∪ I )𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212   class class class wbr 4114   I cid 4414   Po wpo 4420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-po 4422  df-xp 4760  df-rel 4761

This theorem is referenced by: (None)