Theorem poirr 4397

Description: A partial order relation is irreflexive. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
poirr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Proof of Theorem poirr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1004	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		anabs1 572	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		anidm 396	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	1, 2, 3	3bitrri 207	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴))
5		pocl 4393	. . . 4 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐵))))
6	5	imp 124	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐵 ∧ 𝐵𝑅𝐵) → 𝐵𝑅𝐵)))
7	6	simpld 112	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴)) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)
8	4, 7	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵𝑅𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082   Po wpo 4384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-po 4386

This theorem is referenced by:  po2nr  4399  pofun  4402  sonr  4407  poirr2  5120  poxp  6376  swoer  6706  tridc  7057  fimax2gtrilemstep  7058