Theorem ssun1 3335

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 713	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3313	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3196	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 709   ∈ wcel 2175   ∪ cun 3163   ⊆ wss 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  ssun2  3336  ssun3  3337  elun1  3339  inabs  3404  reuun1  3454  un00  3506  undifabs  3536  undifss  3540  snsspr1  3780  snsstp1  3782  snsstp2  3783  prsstp12  3785  exmidundif  4249  sssucid  4460  unexb  4487  dmexg  4940  fvun1  5639  dftpos2  6337  tpostpos2  6341  ac6sfi  6977  caserel  7171  finomni  7224  ressxr  8098  nnssnn0  9280  un0addcl  9310  un0mulcl  9311  nn0ssxnn0  9343  ccatclab  11025  ccatrn  11040  fsumsplit  11637  fsum2d  11665  fsumabs  11695  fprodsplitdc  11826  fprod2d  11853  ennnfonelemss  12700  prdssca  13025  prdsbas  13026  prdsplusg  13027  prdsmulr  13028  lspun  14082  cnfldbas  14240  mpocnfldadd  14241  mpocnfldmul  14243  cnfldcj  14245  cnfldtset  14246  cnfldle  14247  cnfldds  14248  psrplusgg  14358  dvmptfsum  15115  elplyr  15130  lgsdir2lem3  15425  lgsquadlem2  15473  bdunexb  15720