Theorem ssun1 3392

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 724	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3252	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  ssun2  3393  ssun3  3394  elun1  3396  inabs  3463  reuun1  3515  un00  3567  undifabs  3604  undifss  3608  snsspr1  3863  snsstp1  3865  snsstp2  3866  prsstp12  3868  exmidundif  4345  sssucid  4562  unexb  4590  dmexg  5048  fvun1  5772  dftpos2  6537  tpostpos2  6541  mapunen  7157  ac6sfi  7208  caserel  7433  finomni  7486  ressxr  8375  nnssnn0  9577  un0addcl  9607  un0mulcl  9608  nn0ssxnn0  9642  hashfibclem  11303  hashf1lem1  11306  hashf1lem2  11307  ccatclab  11383  ccatrn  11398  fsumsplit  12198  fsum2d  12226  fsumabs  12256  fprodsplitdc  12387  fprod2d  12414  ennnfonelemss  13358  gsump1  14246  gsumzfi  14247  gsumclfi  14248  gsummptfidmadd  14250  gsumsubmclfi  14252  gsummptfidmsplit  14253  gsummptfidmsplitres  14254  gsumconstcmn  14265  gsum2dfilem2  14271  prdssca  14281  prdsbas  14282  prdsplusg  14283  prdsmulr  14284  lspun  14847  cnfldbas  15005  mpocnfldadd  15006  mpocnfldmul  15008  cnfldcj  15010  cnfldtset  15011  cnfldle  15012  cnfldds  15013  gsumfsum  15031  psrplusgg  15191  psrmulrg  15195  dvmptfsum  15968  elplyr  15983  chtdif  16281  lgsdir2lem3  16371  lgsquadlem2  16419  bdunexb  17168  idjudju  17269