Theorem ssun1 3335

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 713	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3313	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3196	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 709   ∈ wcel 2175   ∪ cun 3163   ⊆ wss 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178

This theorem is referenced by:  ssun2  3336  ssun3  3337  elun1  3339  inabs  3404  reuun1  3454  un00  3506  undifabs  3536  undifss  3540  snsspr1  3780  snsstp1  3782  snsstp2  3783  prsstp12  3785  exmidundif  4249  sssucid  4461  unexb  4488  dmexg  4941  fvun1  5644  dftpos2  6346  tpostpos2  6350  ac6sfi  6994  caserel  7188  finomni  7241  ressxr  8115  nnssnn0  9297  un0addcl  9327  un0mulcl  9328  nn0ssxnn0  9360  ccatclab  11048  ccatrn  11063  fsumsplit  11660  fsum2d  11688  fsumabs  11718  fprodsplitdc  11849  fprod2d  11876  ennnfonelemss  12723  prdssca  13049  prdsbas  13050  prdsplusg  13051  prdsmulr  13052  lspun  14106  cnfldbas  14264  mpocnfldadd  14265  mpocnfldmul  14267  cnfldcj  14269  cnfldtset  14270  cnfldle  14271  cnfldds  14272  psrplusgg  14382  dvmptfsum  15139  elplyr  15154  lgsdir2lem3  15449  lgsquadlem2  15497  bdunexb  15789