Theorem ssun1 3372

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 720	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3350	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3232	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 716   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  ssun2  3373  ssun3  3374  elun1  3376  inabs  3441  reuun1  3491  un00  3543  undifabs  3573  undifss  3577  snsspr1  3826  snsstp1  3828  snsstp2  3829  prsstp12  3831  exmidundif  4302  sssucid  4518  unexb  4545  dmexg  5002  fvun1  5721  dftpos2  6470  tpostpos2  6474  ac6sfi  7130  caserel  7329  finomni  7382  ressxr  8265  nnssnn0  9447  un0addcl  9477  un0mulcl  9478  nn0ssxnn0  9512  ccatclab  11220  ccatrn  11235  fsumsplit  12031  fsum2d  12059  fsumabs  12089  fprodsplitdc  12220  fprod2d  12247  ennnfonelemss  13094  prdssca  13421  prdsbas  13422  prdsplusg  13423  prdsmulr  13424  lspun  14481  cnfldbas  14639  mpocnfldadd  14640  mpocnfldmul  14642  cnfldcj  14644  cnfldtset  14645  cnfldle  14646  cnfldds  14647  psrplusgg  14762  dvmptfsum  15519  elplyr  15534  lgsdir2lem3  15832  lgsquadlem2  15880  bdunexb  16619  gfsump1  16798  gfsumcl  16799