Theorem ssun1 3386

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 720	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3364	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3246	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Syntax hints:   ∨ wo 716   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  ssun2  3387  ssun3  3388  elun1  3390  inabs  3457  reuun1  3507  un00  3559  undifabs  3590  undifss  3594  snsspr1  3847  snsstp1  3849  snsstp2  3850  prsstp12  3852  exmidundif  4324  sssucid  4541  unexb  4568  dmexg  5026  fvun1  5748  dftpos2  6505  tpostpos2  6509  mapunen  7117  ac6sfi  7168  caserel  7391  finomni  7444  ressxr  8333  nnssnn0  9516  un0addcl  9546  un0mulcl  9547  nn0ssxnn0  9583  hashfibclem  11231  ccatclab  11307  ccatrn  11322  fsumsplit  12118  fsum2d  12146  fsumabs  12176  fprodsplitdc  12307  fprod2d  12334  ennnfonelemss  13245  gfsump1  14108  gfsumz  14109  gfsumcl  14110  prdssca  14117  prdsbas  14118  prdsplusg  14119  prdsmulr  14120  lspun  14676  cnfldbas  14834  mpocnfldadd  14835  mpocnfldmul  14837  cnfldcj  14839  cnfldtset  14840  cnfldle  14841  cnfldds  14842  psrplusgg  14959  dvmptfsum  15716  elplyr  15731  lgsdir2lem3  16029  lgsquadlem2  16077  bdunexb  16816