Theorem ssun1 3392

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 724	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3252	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  ssun2  3393  ssun3  3394  elun1  3396  inabs  3463  reuun1  3515  un00  3567  undifabs  3604  undifss  3608  snsspr1  3863  snsstp1  3865  snsstp2  3866  prsstp12  3868  exmidundif  4343  sssucid  4560  unexb  4588  dmexg  5046  fvun1  5769  dftpos2  6532  tpostpos2  6536  mapunen  7151  ac6sfi  7202  caserel  7427  finomni  7480  ressxr  8369  nnssnn0  9570  un0addcl  9600  un0mulcl  9601  nn0ssxnn0  9637  hashfibclem  11296  hashf1lem1  11299  hashf1lem2  11300  ccatclab  11376  ccatrn  11391  fsumsplit  12190  fsum2d  12218  fsumabs  12248  fprodsplitdc  12379  fprod2d  12406  ennnfonelemss  13350  gsump1  14206  gsumzfi  14207  gsumclfi  14208  gsummptfidmadd  14210  gsumsubmclfi  14212  gsumconstcmn  14215  prdssca  14224  prdsbas  14225  prdsplusg  14226  prdsmulr  14227  lspun  14788  cnfldbas  14946  mpocnfldadd  14947  mpocnfldmul  14949  cnfldcj  14951  cnfldtset  14952  cnfldle  14953  cnfldds  14954  gsumfsum  14972  psrplusgg  15118  dvmptfsum  15875  elplyr  15890  lgsdir2lem3  16247  lgsquadlem2  16295  bdunexb  17044