Theorem ssun1 3392

Description: Subclass relationship for union of classes. Theorem 25 of [Suppes] p. 27. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
ssun1	⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ssun1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 724	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
2		elun 3370	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))
4	3	ssriv 3252	1 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   ∨ wo 720   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  ssun2  3393  ssun3  3394  elun1  3396  inabs  3463  reuun1  3515  un00  3567  undifabs  3604  undifss  3608  snsspr1  3863  snsstp1  3865  snsstp2  3866  prsstp12  3868  exmidundif  4345  sssucid  4562  unexb  4590  dmexg  5048  fvun1  5772  dftpos2  6536  tpostpos2  6540  mapunen  7155  ac6sfi  7206  caserel  7433  finomni  7486  ressxr  8375  nnssnn0  9577  un0addcl  9607  un0mulcl  9608  nn0ssxnn0  9644  hashfibclem  11304  hashf1lem1  11307  hashf1lem2  11308  ccatclab  11384  ccatrn  11399  fsumsplit  12199  fsum2d  12227  fsumabs  12257  fprodsplitdc  12388  fprod2d  12415  ennnfonelemss  13359  gsump1  14247  gsumzfi  14248  gsumclfi  14249  gsummptfidmadd  14251  gsumsubmclfi  14253  gsummptfidmsplit  14254  gsummptfidmsplitres  14255  gsumconstcmn  14266  gsum2dfilem2  14272  prdssca  14282  prdsbas  14283  prdsplusg  14284  prdsmulr  14285  lspun  14848  cnfldbas  15006  mpocnfldadd  15007  mpocnfldmul  15009  cnfldcj  15011  cnfldtset  15012  cnfldle  15013  cnfldds  15014  gsumfsum  15032  psrplusgg  15182  psrmulrg  15186  dvmptfsum  15951  elplyr  15966  chtdif  16264  lgsdir2lem3  16354  lgsquadlem2  16402  bdunexb  17151  idjudju  17252