Theorem syl32anc 1257

Description: Syllogism combined with contraction. (Contributed by NM, 11-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylXanc.1	⊢ (𝜑 → 𝜓)
sylXanc.2	⊢ (𝜑 → 𝜒)
sylXanc.3	⊢ (𝜑 → 𝜃)
sylXanc.4	⊢ (𝜑 → 𝜏)
sylXanc.5	⊢ (𝜑 → 𝜂)
syl32anc.6	⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃) ∧ (𝜏 ∧ 𝜂)) → 𝜁)

Assertion

Ref	Expression
syl32anc	⊢ (𝜑 → 𝜁)

Proof of Theorem syl32anc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylXanc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜓)
2		sylXanc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3		sylXanc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜃)
4		sylXanc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜏)
5		sylXanc.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜂)
6	4, 5	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜏 ∧ 𝜂))
7		syl32anc.6	. 2 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃) ∧ (𝜏 ∧ 𝜂)) → 𝜁)
8	1, 2, 3, 6, 7	syl31anc 1252	1 ⊢ (𝜑 → 𝜁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982

This theorem is referenced by:  ioom  10367  modifeq2int  10495  modaddmodup  10496  seq3f1olemqsum  10622  seq3f1o  10626  exple1  10704  leexp2rd  10812  nn0ltexp2  10818  facubnd  10854  permnn  10880  dfabsmax  11399  expcnvre  11685  dvdsadd2b  12022  dvdsmulgcd  12217  sqgcd  12221  bezoutr  12224  cncongr2  12297  pw2dvds  12359  hashgcdlem  12431  modprm0  12448  modprmn0modprm0  12450  2idlcpblrng  14155  tgioo  14874  mpodvdsmulf1o  15310  perfectlem2  15320  lgssq  15365  lgssq2  15366  gausslemma2dlem7  15393  lgsquad2lem1  15406  lgsquad2lem2  15407