Theorem syl32anc 1282

Description: Syllogism combined with contraction. (Contributed by NM, 11-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylXanc.1	⊢ (𝜑 → 𝜓)
sylXanc.2	⊢ (𝜑 → 𝜒)
sylXanc.3	⊢ (𝜑 → 𝜃)
sylXanc.4	⊢ (𝜑 → 𝜏)
sylXanc.5	⊢ (𝜑 → 𝜂)
syl32anc.6	⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃) ∧ (𝜏 ∧ 𝜂)) → 𝜁)

Assertion

Ref	Expression
syl32anc	⊢ (𝜑 → 𝜁)

Proof of Theorem syl32anc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylXanc.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜓)
2		sylXanc.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜒)
3		sylXanc.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜃)
4		sylXanc.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜏)
5		sylXanc.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝜂)
6	4, 5	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜏 ∧ 𝜂))
7		syl32anc.6	. 2 ⊢ (((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃) ∧ (𝜏 ∧ 𝜂)) → 𝜁)
8	1, 2, 3, 6, 7	syl31anc 1277	1 ⊢ (𝜑 → 𝜁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007

This theorem is referenced by:  ioom  10647  modifeq2int  10775  modaddmodup  10776  seq3f1olemqsum  10902  seq3f1o  10906  exple1  10984  leexp2rd  11093  nn0ltexp2  11099  facubnd  11135  permnn  11162  dfabsmax  11930  expcnvre  12217  dvdsadd2b  12554  dvdsmulgcd  12749  sqgcd  12753  bezoutr  12756  cncongr2  12829  pw2dvds  12891  hashgcdlem  12963  modprm0  12980  modprmn0modprm0  12982  2idlcpblrng  14800  tgioo  15548  mpodvdsmulf1o  15987  perfectlem2  15997  lgssq  16042  lgssq2  16043  gausslemma2dlem7  16070  lgsquad2lem1  16083  lgsquad2lem2  16084