ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  permnn GIF version

Theorem permnn 10485
Description: The number of permutations of 𝑁𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9862 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
21faccld 10450 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3 fznn0sub 9805 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑅) ∈ ℕ0)
43faccld 10450 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℕ)
54, 2nnmulcld 8737 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6 elfz3nn0 9863 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 faccl 10449 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
87nncnd 8702 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
96, 8syl 14 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104nncnd 8702 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
112nncnd 8702 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
122nnap0d 8734 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) # 0)
1310, 11, 12divcanap4d 8524 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁𝑅)))
1413, 4eqeltrd 2194 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
15 bcval2 10464 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))))
16 bccl2 10482 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
1715, 16eqeltrrd 2195 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
18 nndivtr 8730 . 2 ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
192, 5, 9, 14, 17, 18syl32anc 1209 1 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588   · cmul 7593  cmin 7901   / cdiv 8400  cn 8688  0cn0 8945  ...cfz 9758  !cfa 10439  Ccbc 10461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-seqfrec 10187  df-fac 10440  df-bc 10462
This theorem is referenced by:  eirraplem  11410
  Copyright terms: Public domain W3C validator