Theorem permnn 11032

Description: The number of permutations of 𝑁 − 𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10348	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
2	1	faccld 10997	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3		fznn0sub 10291	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℕ0)
4	3	faccld 10997	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℕ)
5	4, 2	nnmulcld 9191	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6		elfz3nn0 10349	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		faccl 10996	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 9156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
10	4	nncnd 9156	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
11	2	nncnd 9156	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12	2	nnap0d 9188	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) # 0)
13	10, 11, 12	divcanap4d 8975	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁 − 𝑅)))
14	13, 4	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
15		bcval2 11011	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))))
16		bccl2 11029	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
17	15, 16	eqeltrrd 2309	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
18		nndivtr 9184	. 2 ⊢ ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
19	2, 5, 9, 14, 17, 18	syl32anc 1281	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017  ℂcc 8029  0cc0 8031   · cmul 8036   − cmin 8349   / cdiv 8851  ℕcn 9142  ℕ₀cn0 9401  ...cfz 10242  !cfa 10986  Ccbc 11008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-seqfrec 10709  df-fac 10987  df-bc 11009

This theorem is referenced by:  eirraplem  12337