ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  permnn GIF version

Theorem permnn 10068
Description: The number of permutations of 𝑁𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 9451 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
21faccld 10033 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3 fznn0sub 9395 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑅) ∈ ℕ0)
43faccld 10033 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℕ)
54, 2nnmulcld 8398 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6 elfz3nn0 9452 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 faccl 10032 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
87nncnd 8364 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
96, 8syl 14 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104nncnd 8364 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
112nncnd 8364 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
122nnap0d 8395 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) # 0)
1310, 11, 12divcanap4d 8194 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁𝑅)))
1413, 4eqeltrd 2161 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
15 bcval2 10047 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))))
16 bccl2 10065 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
1715, 16eqeltrrd 2162 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
18 nndivtr 8391 . 2 ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
192, 5, 9, 14, 17, 18syl32anc 1180 1 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1436  cfv 4978  (class class class)co 5607  cc 7285  0cc0 7287   · cmul 7292  cmin 7590   / cdiv 8071  cn 8350  0cn0 8599  ...cfz 9349  !cfa 10022  Ccbc 10044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3928  ax-sep 3931  ax-nul 3939  ax-pow 3983  ax-pr 4009  ax-un 4233  ax-setind 4325  ax-iinf 4375  ax-cnex 7373  ax-resscn 7374  ax-1cn 7375  ax-1re 7376  ax-icn 7377  ax-addcl 7378  ax-addrcl 7379  ax-mulcl 7380  ax-mulrcl 7381  ax-addcom 7382  ax-mulcom 7383  ax-addass 7384  ax-mulass 7385  ax-distr 7386  ax-i2m1 7387  ax-0lt1 7388  ax-1rid 7389  ax-0id 7390  ax-rnegex 7391  ax-precex 7392  ax-cnre 7393  ax-pre-ltirr 7394  ax-pre-ltwlin 7395  ax-pre-lttrn 7396  ax-pre-apti 7397  ax-pre-ltadd 7398  ax-pre-mulgt0 7399  ax-pre-mulext 7400
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3911  df-id 4093  df-po 4096  df-iso 4097  df-iord 4166  df-on 4168  df-ilim 4169  df-suc 4171  df-iom 4378  df-xp 4416  df-rel 4417  df-cnv 4418  df-co 4419  df-dm 4420  df-rn 4421  df-res 4422  df-ima 4423  df-iota 4943  df-fun 4980  df-fn 4981  df-f 4982  df-f1 4983  df-fo 4984  df-f1o 4985  df-fv 4986  df-riota 5563  df-ov 5610  df-oprab 5611  df-mpt2 5612  df-1st 5862  df-2nd 5863  df-recs 6018  df-frec 6104  df-pnf 7461  df-mnf 7462  df-xr 7463  df-ltxr 7464  df-le 7465  df-sub 7592  df-neg 7593  df-reap 7986  df-ap 7993  df-div 8072  df-inn 8351  df-n0 8600  df-z 8677  df-uz 8945  df-q 9030  df-rp 9060  df-fz 9350  df-iseq 9773  df-fac 10023  df-bc 10045
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator