Theorem permnn 11226

Description: The number of permutations of 𝑁 − 𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10532	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
2	1	faccld 11190	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3		fznn0sub 10474	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℕ0)
4	3	faccld 11190	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℕ)
5	4, 2	nnmulcld 9356	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6		elfz3nn0 10533	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		faccl 11189	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 9321	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
10	4	nncnd 9321	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
11	2	nncnd 9321	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12	2	nnap0d 9353	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) # 0)
13	10, 11, 12	divcanap4d 9129	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁 − 𝑅)))
14	13, 4	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
15		bcval2 11204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))))
16		bccl2 11222	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
17	15, 16	eqeltrrd 2316	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
18		nndivtr 9349	. 2 ⊢ ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
19	2, 5, 9, 14, 17, 18	syl32anc 1286	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8178  0cc0 8180   · cmul 8185   − cmin 8499   / cdiv 9005  ℕcn 9307  ℕ₀cn0 9568  ...cfz 10422  !cfa 11179  Ccbc 11201

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-seqfrec 10900  df-fac 11180  df-bc 11202

This theorem is used by:  eirraplem  12563