Theorem permnn 10673

Description: The number of permutations of 𝑁 − 𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 10039	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
2	1	faccld 10638	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3		fznn0sub 9982	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℕ0)
4	3	faccld 10638	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℕ)
5	4, 2	nnmulcld 8897	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6		elfz3nn0 10040	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		faccl 10637	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 8862	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
10	4	nncnd 8862	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
11	2	nncnd 8862	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12	2	nnap0d 8894	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) # 0)
13	10, 11, 12	divcanap4d 8683	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁 − 𝑅)))
14	13, 4	eqeltrd 2241	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
15		bcval2 10652	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))))
16		bccl2 10670	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
17	15, 16	eqeltrrd 2242	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
18		nndivtr 8890	. 2 ⊢ ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
19	2, 5, 9, 14, 17, 18	syl32anc 1235	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  0cc0 7744   · cmul 7749   − cmin 8060   / cdiv 8559  ℕcn 8848  ℕ₀cn0 9105  ...cfz 9935  !cfa 10627  Ccbc 10649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-fz 9936  df-seqfrec 10371  df-fac 10628  df-bc 10650

This theorem is referenced by:  eirraplem  11703