Theorem dfabsmax 11159

Description: Absolute value of a real number in terms of maximum. Definition 3.13 of [Geuvers], p. 11. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfabsmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Proof of Theorem dfabsmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	mpdan 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		maxle2 11154	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
6	2, 5	mpdan 418	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
7	1, 4, 6	lenegcon1d 8425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
8		maxle1 11153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
9	2, 8	mpdan 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
10		absle 11031	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
11	4, 10	mpdan 418	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
12	7, 9, 11	mpbir2and 934	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
13		recn 7886	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	abscld 11123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15		leabs 11016	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	2	leabsd 11103	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
17	13	absnegd 11131	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
18	16, 17	breqtrd 4008	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
19		maxleast 11155	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ∧ -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
20	1, 2, 14, 15, 18, 19	syl32anc 1236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
21	14, 4	letri3d 8014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 934	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cpr 3577   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  supcsup 6947  ℝcr 7752   < clt 7933   ≤ cle 7934  -cneg 8070  abscabs 10939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-rp 9590  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941

This theorem is referenced by: (None)