Theorem dfabsmax 11777

Description: Absolute value of a real number in terms of maximum. Definition 3.13 of [Geuvers], p. 11. (Contributed by BJ and Jim Kingdon, 21-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfabsmax	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Proof of Theorem dfabsmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		renegcl 8439	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
3		maxcl 11770	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4	2, 3	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5		maxle2 11772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
6	2, 5	mpdan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
7	1, 4, 6	lenegcon1d 8706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴)
8		maxle1 11771	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
9	2, 8	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
10		absle 11649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
11	4, 10	mpdan 421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ (-sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))))
12	7, 9, 11	mpbir2and 952	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))
13		recn 8164	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	abscld 11741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
15		leabs 11634	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
16	2	leabsd 11721	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘-𝐴))
17	13	absnegd 11749	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘-𝐴) = (abs‘𝐴))
18	16, 17	breqtrd 4114	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))
19		maxleast 11773	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≤ (abs‘𝐴) ∧ -𝐴 ≤ (abs‘𝐴))) → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
20	1, 2, 14, 15, 18, 19	syl32anc 1281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))
21	14, 4	letri3d 8294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ∧ sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ) ≤ (abs‘𝐴))))
22	12, 20, 21	mpbir2and 952	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = sup({𝐴, -𝐴}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {cpr 3670   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  supcsup 7180  ℝcr 8030   < clt 8213   ≤ cle 8214  -cneg 8350  abscabs 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-sup 7182  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559

This theorem is referenced by: (None)