Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pw2dvds GIF version

Theorem pw2dvds 11571
 Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
pw2dvds (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvds
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 8675 . . . 4 2 ∈ ℕ
3 nnnn0 8778 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 nnexpcl 10083 . . . 4 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
52, 3, 4sylancr 406 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6 1zzd 8875 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
7 2z 8876 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
8 zexpcl 10085 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
97, 3, 8sylancr 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
109, 6zsubcld 8972 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ)
11 nnz 8867 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12 nnge1 8543 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
13 uzid 9132 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
147, 13ax-mp 7 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
15 bernneq3 10191 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
1614, 3, 15sylancr 406 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑𝑁))
17 zltlem1 8905 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
1811, 9, 17syl2anc 404 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
1916, 18mpbid 146 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))
20 elfz4 9582 . . . 4 (((1 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))) → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
216, 10, 11, 12, 19, 20syl32anc 1189 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
22 fzm1ndvds 11284 . . 3 (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1))) → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
235, 21, 22syl2anc 404 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
24 pw2dvdslemn 11570 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
251, 23, 24mpd3an23 1282 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1445  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619   ≤ cle 7620   − cmin 7750  ℕcn 8520  2c2 8571  ℕ0cn0 8771  ℤcz 8848  ℤ≥cuz 9118  ...cfz 9573  ↑cexp 10069   ∥ cdvds 11223 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fl 9826  df-mod 9879  df-seqfrec 10001  df-exp 10070  df-dvds 11224 This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  11573  oddpwdclemdvds  11575  oddpwdclemndvds  11576
 Copyright terms: Public domain W3C validator