Theorem pw2dvds 12098

Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 9018	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		nnnn0 9121	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nnexpcl 10468	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6		1zzd 9218	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
7		2z 9219	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		zexpcl 10470	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
9	7, 3, 8	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
10	9, 6	zsubcld 9318	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ)
11		nnz 9210	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		nnge1 8880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
13		uzid 9480	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
15		bernneq3 10577	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
16	14, 3, 15	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑𝑁))
17		zltlem1 9248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
18	11, 9, 17	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
19	16, 18	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))
20		elfz4 9953	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))) → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
21	6, 10, 11, 12, 19, 20	syl32anc 1236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
22		fzm1ndvds 11794	. . 3 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1))) → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
23	5, 21, 22	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
24		pw2dvdslemn 12097	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
25	1, 23, 24	mpd3an23 1329	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2136  ∃wrex 2445   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   ≤ cle 7934   − cmin 8069  ℕcn 8857  2c2 8908  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ...cfz 9944  ↑cexp 10454   ∥ cdvds 11727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-dvds 11728

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12100  oddpwdclemdvds  12102  oddpwdclemndvds  12103