Theorem pw2dvds 12120

Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 9039	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		nnnn0 9142	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nnexpcl 10489	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6		1zzd 9239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
7		2z 9240	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		zexpcl 10491	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
9	7, 3, 8	sylancr 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
10	9, 6	zsubcld 9339	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ)
11		nnz 9231	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		nnge1 8901	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
13		uzid 9501	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
15		bernneq3 10598	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
16	14, 3, 15	sylancr 412	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑𝑁))
17		zltlem1 9269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
18	11, 9, 17	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
19	16, 18	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))
20		elfz4 9974	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))) → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
21	6, 10, 11, 12, 19, 20	syl32anc 1241	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
22		fzm1ndvds 11816	. . 3 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1))) → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
23	5, 21, 22	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
24		pw2dvdslemn 12119	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
25	1, 23, 24	mpd3an23 1334	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  ∃wrex 2449   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955   − cmin 8090  ℕcn 8878  2c2 8929  ℕ₀cn0 9135  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965  ↑cexp 10475   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12122  oddpwdclemdvds  12124  oddpwdclemndvds  12125