Theorem pw2dvds 12863

Description: A natural number has a highest power of two which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
pw2dvds	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable group:   𝑚,𝑁

Proof of Theorem pw2dvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2		2nn 9399	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
3		nnnn0 9503	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		nnexpcl 10914	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
5	2, 3, 4	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
6		1zzd 9604	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
7		2z 9605	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
8		zexpcl 10916	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
9	7, 3, 8	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
10	9, 6	zsubcld 9705	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ)
11		nnz 9596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
12		nnge1 9260	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
13		uzid 9868	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
14	7, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
15		bernneq3 11024	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 < (2↑𝑁))
16	14, 3, 15	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2↑𝑁))
17		zltlem1 9635	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
18	11, 9, 17	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < (2↑𝑁) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1)))
19	16, 18	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))
20		elfz4 10352	. . . 4 ⊢ (((1 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑁) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ ((2↑𝑁) − 1))) → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
21	6, 10, 11, 12, 19, 20	syl32anc 1282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1)))
22		fzm1ndvds 12542	. . 3 ⊢ (((2↑𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (1...((2↑𝑁) − 1))) → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
23	5, 21, 22	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁)
24		pw2dvdslemn 12862	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ ¬ (2↑𝑁) ∥ 𝑁) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
25	1, 23, 24	mpd3an23 1376	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((2↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (2↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444  ℕcn 9237  2c2 9288  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342  ↑cexp 10900   ∥ cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fl 10630  df-mod 10685  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  pw2dvdseu  12865  oddpwdclemdvds  12867  oddpwdclemndvds  12868