Theorem expcnvre 12066

Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvre.ar	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
expcnvre.a0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcnvre	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvre.ar	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1red 8194	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3		expcnvre.a1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
4		qbtwnre 10517	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6		nn0uz 9791	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 9491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8		qre 9859	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		0red 8180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
12	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		expcnvre.a0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15		simprrl 541	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
16	11, 12, 9, 14, 15	lelttrd 8304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
17	11, 9, 16	ltled 8298	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
18	9, 17	absidd 11729	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19		simprrr 542	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
20	18, 19	eqbrtrd 4110	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
21	9, 16	gt0ap0d 8809	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
22	10, 20, 21	expcnvap0 12065	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) ⇝ 0)
23		nn0ex 9408	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	mptex 5880	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
28	27, 26	reexpcld 10953	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ)
29		oveq2 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
30		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))
31	29, 30	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
32	26, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
33	32, 28	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
34	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 26	reexpcld 10953	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
36		oveq2 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
37		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
38	36, 37	fvmptg 5722	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
39	26, 35, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
40	39, 35	eqeltrd 2308	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
41	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
42	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
43	34, 27, 42	ltled 8298	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝑥)
44		leexp1a 10857	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
45	34, 27, 26, 41, 43, 44	syl32anc 1281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
46	45, 39, 32	3brtr4d 4120	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘))
47	34, 26, 41	expge0d 10954	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
48	47, 39	breqtrrd 4116	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
49	6, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48	climsqz2 11898	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
50	5, 49	rexlimddv 2655	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511  Vcvv 2802   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕ₀cn0 9402  ℚcq 9853  ↑cexp 10801  abscabs 11559   ⇝ cli 11840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841

This theorem is referenced by:  expcnv  12067