Theorem expcnvre 12253

Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvre.ar	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
expcnvre.a0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcnvre	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvre.ar	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1red 8335	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3		expcnvre.a1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
4		qbtwnre 10674	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6		nn0uz 9940	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 9639	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8		qre 10008	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrl 494	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8348	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		0red 8321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
12	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		expcnvre.a0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15		simprrl 545	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
16	11, 12, 9, 14, 15	lelttrd 8445	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
17	11, 9, 16	ltled 8439	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
18	9, 17	absidd 11916	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19		simprrr 546	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
20	18, 19	eqbrtrd 4150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
21	9, 16	gt0ap0d 8951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
22	10, 20, 21	expcnvap0 12252	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) ⇝ 0)
23		nn0ex 9552	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	mptex 5937	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
28	27, 26	reexpcld 11111	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ)
29		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
30		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))
31	29, 30	fvmptg 5778	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
32	26, 28, 31	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
33	32, 28	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
34	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 26	reexpcld 11111	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
36		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
37		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
38	36, 37	fvmptg 5778	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
39	26, 35, 38	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
40	39, 35	eqeltrd 2315	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
41	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
42	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
43	34, 27, 42	ltled 8439	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝑥)
44		leexp1a 11014	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
45	34, 27, 26, 41, 43, 44	syl32anc 1286	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
46	45, 39, 32	3brtr4d 4160	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘))
47	34, 26, 41	expge0d 11112	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
48	47, 39	breqtrrd 4156	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
49	6, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48	climsqz2 12085	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
50	5, 49	rexlimddv 2673	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℕ₀cn0 9546  ℚcq 10002  ↑cexp 10958  abscabs 11746   ⇝ cli 12027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028

This theorem is referenced by:  expcnv  12254