ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvre GIF version

Theorem expcnvre 10958
Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvre.ar (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1 (𝜑𝐴 < 1)
expcnvre.a0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
expcnvre (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcnvre.ar . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1red 7564 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 expcnvre.a1 . . 3 (𝜑𝐴 < 1)
4 qbtwnre 9729 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))
51, 2, 3, 4syl3anc 1175 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))
6 nn0uz 9114 . . 3 0 = (ℤ‘0)
7 0zd 8823 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8 qre 9171 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
98ad2antrl 475 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 7577 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 0red 7550 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
121adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 expcnvre.a0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1413adantr 271 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15 simprrl 507 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
1611, 12, 9, 14, 15lelttrd 7669 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
1711, 9, 16ltled 7663 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
189, 17absidd 10661 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19 simprrr 508 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
2018, 19eqbrtrd 3871 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
219, 16gt0ap0d 8166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
2210, 20, 21expcnvap0 10957 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛)) ⇝ 0)
23 nn0ex 8740 . . . . 5 0 ∈ V
2423mptex 5537 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
2524a1i 9 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
26 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
279adantr 271 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827, 26reexpcld 10164 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
29 oveq2 5674 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
30 eqid 2089 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))
3129, 30fvmptg 5393 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) = (𝑥𝑘))
3226, 28, 31syl2anc 404 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) = (𝑥𝑘))
3332, 28eqeltrd 2165 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
3412adantr 271 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3534, 26reexpcld 10164 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
36 oveq2 5674 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
37 eqid 2089 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
3836, 37fvmptg 5393 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3926, 35, 38syl2anc 404 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
4039, 35eqeltrd 2165 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4114adantr 271 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
4215adantr 271 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
4334, 27, 42ltled 7663 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝑥)
44 leexp1a 10071 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝑥)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝑥𝑘))
4534, 27, 26, 41, 43, 44syl32anc 1183 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ (𝑥𝑘))
4645, 39, 323brtr4d 3881 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘))
4734, 26, 41expge0d 10165 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
4847, 39breqtrrd 3877 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘))
496, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48climsqz2 10785 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
505, 49rexlimddv 2494 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  wrex 2361  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  cmpt 3905  cfv 5028  (class class class)co 5666  cr 7410  0cc0 7411  1c1 7412   < clt 7583  cle 7584  0cn0 8734  cq 9165  cexp 10015  abscabs 10491  cli 10727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524  ax-arch 7525  ax-caucvg 7526
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-q 9166  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339  df-rsqrt 10492  df-abs 10493  df-clim 10728
This theorem is referenced by:  expcnv  10959
  Copyright terms: Public domain W3C validator