Theorem expcnvre 11980

Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvre.ar	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
expcnvre.a0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcnvre	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvre.ar	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1red 8129	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3		expcnvre.a1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
4		qbtwnre 10443	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6		nn0uz 9725	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 9426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8		qre 9788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 8143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		0red 8115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
12	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		expcnvre.a0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15		simprrl 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
16	11, 12, 9, 14, 15	lelttrd 8239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
17	11, 9, 16	ltled 8233	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
18	9, 17	absidd 11644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19		simprrr 540	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
20	18, 19	eqbrtrd 4084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
21	9, 16	gt0ap0d 8744	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
22	10, 20, 21	expcnvap0 11979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) ⇝ 0)
23		nn0ex 9343	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	mptex 5838	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
28	27, 26	reexpcld 10879	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ)
29		oveq2 5982	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
30		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))
31	29, 30	fvmptg 5683	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
32	26, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
33	32, 28	eqeltrd 2286	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
34	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 26	reexpcld 10879	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
36		oveq2 5982	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
37		eqid 2209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
38	36, 37	fvmptg 5683	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
39	26, 35, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
40	39, 35	eqeltrd 2286	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
41	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
42	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
43	34, 27, 42	ltled 8233	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝑥)
44		leexp1a 10783	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
45	34, 27, 26, 41, 43, 44	syl32anc 1260	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
46	45, 39, 32	3brtr4d 4094	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘))
47	34, 26, 41	expge0d 10880	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
48	47, 39	breqtrrd 4090	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
49	6, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48	climsqz2 11813	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
50	5, 49	rexlimddv 2633	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∃wrex 2489  Vcvv 2779   class class class wbr 4062   ↦ cmpt 4124  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℝcr 7966  0cc0 7967  1c1 7968   < clt 8149   ≤ cle 8150  ℕ₀cn0 9337  ℚcq 9782  ↑cexp 10727  abscabs 11474   ⇝ cli 11755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-frec 6507  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756

This theorem is referenced by:  expcnv  11981