ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvre GIF version

Theorem expcnvre 11546
Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvre.ar (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1 (𝜑𝐴 < 1)
expcnvre.a0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
expcnvre (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcnvre.ar . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1red 8003 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 expcnvre.a1 . . 3 (𝜑𝐴 < 1)
4 qbtwnre 10289 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))
51, 2, 3, 4syl3anc 1249 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))
6 nn0uz 9594 . . 3 0 = (ℤ‘0)
7 0zd 9296 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8 qre 9657 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
98ad2antrl 490 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 8017 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 0red 7989 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
121adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 expcnvre.a0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1413adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15 simprrl 539 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
1611, 12, 9, 14, 15lelttrd 8113 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
1711, 9, 16ltled 8107 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
189, 17absidd 11211 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19 simprrr 540 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
2018, 19eqbrtrd 4040 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
219, 16gt0ap0d 8617 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
2210, 20, 21expcnvap0 11545 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛)) ⇝ 0)
23 nn0ex 9213 . . . . 5 0 ∈ V
2423mptex 5763 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
2524a1i 9 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
26 simpr 110 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
279adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827, 26reexpcld 10705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
29 oveq2 5905 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
30 eqid 2189 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))
3129, 30fvmptg 5613 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) = (𝑥𝑘))
3226, 28, 31syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) = (𝑥𝑘))
3332, 28eqeltrd 2266 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
3412adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3534, 26reexpcld 10705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
36 oveq2 5905 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
37 eqid 2189 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
3836, 37fvmptg 5613 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3926, 35, 38syl2anc 411 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
4039, 35eqeltrd 2266 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4114adantr 276 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
4215adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
4334, 27, 42ltled 8107 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝑥)
44 leexp1a 10609 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝑥)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝑥𝑘))
4534, 27, 26, 41, 43, 44syl32anc 1257 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ (𝑥𝑘))
4645, 39, 323brtr4d 4050 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘))
4734, 26, 41expge0d 10706 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
4847, 39breqtrrd 4046 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘))
496, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48climsqz2 11379 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
505, 49rexlimddv 2612 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  Vcvv 2752   class class class wbr 4018  cmpt 4079  cfv 5235  (class class class)co 5897  cr 7841  0cc0 7842  1c1 7843   < clt 8023  cle 8024  0cn0 9207  cq 9651  cexp 10553  abscabs 11041  cli 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-q 9652  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043  df-clim 11322
This theorem is referenced by:  expcnv  11547
  Copyright terms: Public domain W3C validator