Theorem expcnvre 11504

Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcnvre.ar	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
expcnvre.a0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
expcnvre	⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcnvre.ar	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		1red 7969	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3		expcnvre.a1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 1)
4		qbtwnre 10252	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
6		nn0uz 9558	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7		0zd 9261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8		qre 9621	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
9	8	ad2antrl 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
10	9	recnd 7982	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11		0red 7955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
12	1	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13		expcnvre.a0	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
14	13	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15		simprrl 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
16	11, 12, 9, 14, 15	lelttrd 8078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
17	11, 9, 16	ltled 8072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
18	9, 17	absidd 11169	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19		simprrr 540	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
20	18, 19	eqbrtrd 4024	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
21	9, 16	gt0ap0d 8582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
22	10, 20, 21	expcnvap0 11503	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) ⇝ 0)
23		nn0ex 9178	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
24	23	mptex 5741	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V
25	24	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ∈ V)
26		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
27	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
28	27, 26	reexpcld 10665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ)
29		oveq2 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥↑𝑛) = (𝑥↑𝑘))
30		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))
31	29, 30	fvmptg 5591	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
32	26, 28, 31	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) = (𝑥↑𝑘))
33	32, 28	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
34	12	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
35	34, 26	reexpcld 10665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
36		oveq2 5880	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴↑𝑛) = (𝐴↑𝑘))
37		eqid 2177	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))
38	36, 37	fvmptg 5591	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
39	26, 35, 38	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) = (𝐴↑𝑘))
40	39, 35	eqeltrd 2254	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
41	14	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
42	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
43	34, 27, 42	ltled 8072	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ≤ 𝑥)
44		leexp1a 10570	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑥)) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
45	34, 27, 26, 41, 43, 44	syl32anc 1246	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ≤ (𝑥↑𝑘))
46	45, 39, 32	3brtr4d 4034	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥↑𝑛))‘𝑘))
47	34, 26, 41	expge0d 10666	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴↑𝑘))
48	47, 39	breqtrrd 4030	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛))‘𝑘))
49	6, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48	climsqz2 11337	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)
50	5, 49	rexlimddv 2599	1 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴↑𝑛)) ⇝ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  Vcvv 2737   class class class wbr 4002   ↦ cmpt 4063  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  ℝcr 7807  0cc0 7808  1c1 7809   < clt 7988   ≤ cle 7989  ℕ₀cn0 9172  ℚcq 9615  ↑cexp 10514  abscabs 10999   ⇝ cli 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-mulrcl 7907  ax-addcom 7908  ax-mulcom 7909  ax-addass 7910  ax-mulass 7911  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-1rid 7915  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-precex 7918  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924  ax-pre-mulgt0 7925  ax-pre-mulext 7926  ax-arch 7927  ax-caucvg 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-reap 8528  df-ap 8535  df-div 8626  df-inn 8916  df-2 8974  df-3 8975  df-4 8976  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-q 9616  df-rp 9650  df-seqfrec 10441  df-exp 10515  df-cj 10844  df-re 10845  df-im 10846  df-rsqrt 11000  df-abs 11001  df-clim 11280

This theorem is referenced by:  expcnv  11505