Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcnvre GIF version

Theorem expcnvre 11324
 Description: A sequence of powers of a nonnegative real number less than one converges to zero. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
expcnvre.ar (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
expcnvre.a1 (𝜑𝐴 < 1)
expcnvre.a0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
expcnvre (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑛)

Proof of Theorem expcnvre
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 expcnvre.ar . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 1red 7825 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 expcnvre.a1 . . 3 (𝜑𝐴 < 1)
4 qbtwnre 10085 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))
51, 2, 3, 4syl3anc 1217 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))
6 nn0uz 9404 . . 3 0 = (ℤ‘0)
7 0zd 9110 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℤ)
8 qre 9464 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
98ad2antrl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
109recnd 7838 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 ∈ ℂ)
11 0red 7811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ∈ ℝ)
121adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 expcnvre.a0 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
1413adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝐴)
15 simprrl 529 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝐴 < 𝑥)
1611, 12, 9, 14, 15lelttrd 7931 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 < 𝑥)
1711, 9, 16ltled 7925 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 0 ≤ 𝑥)
189, 17absidd 10991 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
19 simprrr 530 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 < 1)
2018, 19eqbrtrd 3959 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (abs‘𝑥) < 1)
219, 16gt0ap0d 8435 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → 𝑥 # 0)
2210, 20, 21expcnvap0 11323 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛)) ⇝ 0)
23 nn0ex 9027 . . . . 5 0 ∈ V
2423mptex 5655 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V
2524a1i 9 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ∈ V)
26 simpr 109 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
279adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827, 26reexpcld 10492 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
29 oveq2 5791 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝑥𝑛) = (𝑥𝑘))
30 eqid 2140 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))
3129, 30fvmptg 5506 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) = (𝑥𝑘))
3226, 28, 31syl2anc 409 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) = (𝑥𝑘))
3332, 28eqeltrd 2217 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
3412adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3534, 26reexpcld 10492 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
36 oveq2 5791 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
37 eqid 2140 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))
3836, 37fvmptg 5506 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
3926, 35, 38syl2anc 409 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
4039, 35eqeltrd 2217 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
4114adantr 274 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐴)
4215adantr 274 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 < 𝑥)
4334, 27, 42ltled 7925 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴𝑥)
44 leexp1a 10399 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴𝑥)) → (𝐴𝑘) ≤ (𝑥𝑘))
4534, 27, 26, 41, 43, 44syl32anc 1225 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ≤ (𝑥𝑘))
4645, 39, 323brtr4d 3969 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥𝑛))‘𝑘))
4734, 26, 41expge0d 10493 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴𝑘))
4847, 39breqtrrd 3965 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘))
496, 7, 22, 25, 33, 40, 46, 48climsqz2 11157 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 1))) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
505, 49rexlimddv 2558 1 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐴𝑛)) ⇝ 0)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  Vcvv 2690   class class class wbr 3938   ↦ cmpt 3998  ‘cfv 5132  (class class class)co 5783  ℝcr 7663  0cc0 7664  1c1 7665   < clt 7844   ≤ cle 7845  ℕ0cn0 9021  ℚcq 9458  ↑cexp 10343  abscabs 10821   ⇝ cli 11099 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-iinf 4511  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782  ax-arch 7783  ax-caucvg 7784 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-iord 4297  df-on 4299  df-ilim 4300  df-suc 4302  df-iom 4514  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-rn 4559  df-res 4560  df-ima 4561  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fn 5135  df-f 5136  df-f1 5137  df-fo 5138  df-f1o 5139  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-1st 6047  df-2nd 6048  df-recs 6211  df-frec 6297  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-div 8477  df-inn 8765  df-2 8823  df-3 8824  df-4 8825  df-n0 9022  df-z 9099  df-uz 9371  df-q 9459  df-rp 9491  df-seqfrec 10270  df-exp 10344  df-cj 10666  df-re 10667  df-im 10668  df-rsqrt 10822  df-abs 10823  df-clim 11100 This theorem is referenced by:  expcnv  11325
 Copyright terms: Public domain W3C validator