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Theorem seq3f1olemqsum 10213
Description: Lemma for seq3f1o 10217. 𝑄 gives the same sum as 𝐽. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1olemstep.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.j (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1olemstep.const (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
iseqf1olemnk (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
iseqf1olemqres.q 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
iseqf1olemqsumk.p 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1olemqsum (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑢,𝐽   𝑢,𝐾,𝑥   𝑢,𝑀,𝑥   𝑢,𝑁   𝑥,𝐽   𝑥,𝑄   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑓,𝑀,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐾,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥   𝑓,𝐽,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑄,𝑓,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑃(𝑢,𝑓)   + (𝑢,𝑓)   𝑄(𝑢)   𝑆(𝑢,𝑓)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑢,𝑓)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑢)   𝐾(𝑓)

Proof of Theorem seq3f1olemqsum
Dummy variables 𝑏 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1olemstep.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
2 elfzel1 9745 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
31, 2syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
43adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
5 elfzelz 9746 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
61, 5syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
76adantr 272 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
8 peano2zm 9043 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
97, 8syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
10 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
11 zltlem1 9062 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 − 1)))
124, 7, 11syl2anc 406 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (𝑀 < 𝐾𝑀 ≤ (𝐾 − 1)))
1310, 12mpbid 146 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝑀 ≤ (𝐾 − 1))
14 eluz2 9281 . . . . . 6 ((𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝐾 − 1)))
154, 9, 13, 14syl3anbrc 1148 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (𝐾 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
163ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17 elfzel2 9744 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
181, 17syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1918ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
20 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑏 ∈ ℤ)
2120adantl 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏 ∈ ℤ)
22 elfzle1 9747 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑀𝑏)
2322adantl 273 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑀𝑏)
2421zred 9124 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏 ∈ ℝ)
256ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
2625zred 9124 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
2719zred 9124 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 peano2rem 7993 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
2926, 28syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
30 elfzle2 9748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑏 ≤ (𝐾 − 1))
3130adantl 273 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏 ≤ (𝐾 − 1))
3226lem1d 8648 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ≤ 𝐾)
3324, 29, 26, 31, 32letrd 7850 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏𝐾)
34 elfzle2 9748 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾𝑁)
351, 34syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾𝑁)
3635ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐾𝑁)
3724, 26, 27, 33, 36letrd 7850 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏𝑁)
38 elfz4 9739 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑏𝑏𝑁)) → 𝑏 ∈ (𝑀...𝑁))
3916, 19, 21, 23, 37, 38syl32anc 1207 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏 ∈ (𝑀...𝑁))
40 elfzel1 9745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
4140zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝐾 ∈ ℝ)
42 elfzelz 9746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝑏 ∈ ℤ)
4342zred 9124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝑏 ∈ ℝ)
44 elfzle1 9747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → 𝐾𝑏)
4541, 43, 44lensymd 7848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) → ¬ 𝑏 < 𝐾)
46 zltlem1 9062 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑏 < 𝐾𝑏 ≤ (𝐾 − 1)))
4721, 25, 46syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑏 < 𝐾𝑏 ≤ (𝐾 − 1)))
4831, 47mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏 < 𝐾)
4945, 48nsyl3 598 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)))
5049iffalsed 3452 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → if(𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))), (𝐽𝑏)) = (𝐽𝑏))
51 iseqf1olemstep.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
52 f1of 5333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5351, 52syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5453ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
5554, 39ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐽𝑏) ∈ (𝑀...𝑁))
5650, 55eqeltrd 2192 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → if(𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))), (𝐽𝑏)) ∈ (𝑀...𝑁))
57 eleq1w 2176 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)) ↔ 𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾))))
58 eqeq1 2122 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 = 𝐾𝑏 = 𝐾))
59 fvoveq1 5763 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝐽‘(𝑢 − 1)) = (𝐽‘(𝑏 − 1)))
6058, 59ifbieq2d 3464 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))) = if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))))
61 fveq2 5387 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → (𝐽𝑢) = (𝐽𝑏))
6257, 60, 61ifbieq12d 3466 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑏 → if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)) = if(𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))), (𝐽𝑏)))
63 iseqf1olemqres.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢)))
6462, 63fvmptg 5463 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ if(𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))), (𝐽𝑏)) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑄𝑏) = if(𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))), (𝐽𝑏)))
6539, 56, 64syl2anc 406 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑄𝑏) = if(𝑏 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑏 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑏 − 1))), (𝐽𝑏)))
6665, 50eqtrd 2148 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑄𝑏) = (𝐽𝑏))
6766fveq2d 5391 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝑄𝑏)) = (𝐺‘(𝐽𝑏)))
68 iseqf1olemqsumk.p . . . . . . . . . . 11 𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
6968csbeq2i 2997 . . . . . . . . . 10 𝑄 / 𝑓𝑃 = 𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
703, 18fzfigd 10144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
71 mptexg 5611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀...𝑁) ∈ Fin → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢))) ∈ V)
7270, 71syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ if(𝑢 ∈ (𝐾...(𝐽𝐾)), if(𝑢 = 𝐾, 𝐾, (𝐽‘(𝑢 − 1))), (𝐽𝑢))) ∈ V)
7363, 72eqeltrid 2202 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ V)
74 nfcvd 2257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
75 fveq1 5386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑄 → (𝑓𝑥) = (𝑄𝑥))
7675fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑄 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝑄𝑥)))
7776ifeq1d 3457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝑄 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)))
7877mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑄 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
7974, 78csbiegf 3011 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ V → 𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
8073, 79syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
8169, 80syl5eq 2160 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
8281ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑄 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀))))
83 breq1 3900 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝑥𝑁𝑏𝑁))
84 2fveq3 5392 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝐺‘(𝑄𝑥)) = (𝐺‘(𝑄𝑏)))
8583, 84ifbieq1d 3462 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑏)), (𝐺𝑀)))
8685adantl 273 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑏)), (𝐺𝑀)))
87 elfzuz 9742 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1)) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑀))
8887adantl 273 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑀))
8937iftrued 3449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑏)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝑄𝑏)))
90 fveq2 5387 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑄𝑏) → (𝐺𝑎) = (𝐺‘(𝑄𝑏)))
9190eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑄𝑏) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝑄𝑏)) ∈ 𝑆))
92 iseqf1o.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
9392ralrimiva 2480 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
94 fveq2 5387 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑎))
9594eleq1d 2184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑎 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑎) ∈ 𝑆))
9695cbvralv 2629 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
9793, 96sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
9897ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → ∀𝑎 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑎) ∈ 𝑆)
991, 51, 63iseqf1olemqf 10204 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
10099ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝑄:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
101100, 39ffvelrnd 5522 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑄𝑏) ∈ (𝑀...𝑁))
102 elfzuz 9742 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑏) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑄𝑏) ∈ (ℤ𝑀))
103101, 102syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑄𝑏) ∈ (ℤ𝑀))
10491, 98, 103rspcdva 2766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝑄𝑏)) ∈ 𝑆)
10589, 104eqeltrd 2192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑏)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
10682, 86, 88, 105fvmptd 5468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑏) = if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝑄𝑏)), (𝐺𝑀)))
107106, 89eqtrd 2148 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑏) = (𝐺‘(𝑄𝑏)))
10868csbeq2i 2997 . . . . . . . . . 10 𝐽 / 𝑓𝑃 = 𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)))
109 fex 5613 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁) ∧ (𝑀...𝑁) ∈ Fin) → 𝐽 ∈ V)
11053, 70, 109syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ V)
111 nfcvd 2257 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ V → 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
112 fveq1 5386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝐽 → (𝑓𝑥) = (𝐽𝑥))
113112fveq2d 5391 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝐽 → (𝐺‘(𝑓𝑥)) = (𝐺‘(𝐽𝑥)))
114113ifeq1d 3457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = 𝐽 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)))
115114mpteq2dv 3987 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝐽 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
116111, 115csbiegf 3011 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ V → 𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
117110, 116syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 / 𝑓(𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝑓𝑥)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
118108, 117syl5eq 2160 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
119118ad2antrr 477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → 𝐽 / 𝑓𝑃 = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀))))
120 2fveq3 5392 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (𝐺‘(𝐽𝑥)) = (𝐺‘(𝐽𝑏)))
12183, 120ifbieq1d 3462 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑏 → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑏)), (𝐺𝑀)))
122121adantl 273 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 = 𝑏) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑥)), (𝐺𝑀)) = if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑏)), (𝐺𝑀)))
12337iftrued 3449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑏)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝐽𝑏)))
124 fveq2 5387 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝐽𝑏) → (𝐺𝑎) = (𝐺‘(𝐽𝑏)))
125124eleq1d 2184 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝐽𝑏) → ((𝐺𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐽𝑏)) ∈ 𝑆))
126 elfzuz 9742 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽𝑏) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐽𝑏) ∈ (ℤ𝑀))
12755, 126syl 14 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐽𝑏) ∈ (ℤ𝑀))
128125, 98, 127rspcdva 2766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐺‘(𝐽𝑏)) ∈ 𝑆)
129123, 128eqeltrd 2192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑏)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
130119, 122, 88, 129fvmptd 5468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑏) = if(𝑏𝑁, (𝐺‘(𝐽𝑏)), (𝐺𝑀)))
131130, 123eqtrd 2148 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑏) = (𝐺‘(𝐽𝑏)))
13267, 107, 1313eqtr4rd 2159 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑏 ∈ (𝑀...(𝐾 − 1))) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑏) = (𝑄 / 𝑓𝑃𝑏))
1331adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝐾 ∈ (𝑀...𝑁))
13451adantr 272 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝐽:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
13592adantlr 466 . . . . . 6 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
136133, 134, 63, 135, 68iseqf1olemjpcl 10208 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐽 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
137133, 134, 63, 135, 68iseqf1olemqpcl 10209 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑄 / 𝑓𝑃𝑥) ∈ 𝑆)
138 iseqf1o.1 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
139138adantlr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
14015, 132, 136, 137, 139seq3fveq 10184 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐾 − 1)) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐾 − 1)))
141 iseqf1o.2 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
142 iseqf1o.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
143 iseqf1o.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
144 iseqf1o.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
145 iseqf1olemstep.const . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝑀..^𝐾)(𝐽𝑥) = 𝑥)
146 iseqf1olemnk . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ≠ (𝐽𝐾))
147138, 141, 142, 143, 144, 92, 1, 51, 145, 146, 63, 68seq3f1olemqsumk 10212 . . . . . 6 (𝜑 → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
148147adantr 272 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
1497zcnd 9125 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
150 npcan1 8104 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
151149, 150syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → ((𝐾 − 1) + 1) = 𝐾)
152151seqeq1d 10164 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃) = seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃))
153152fveq1d 5389 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
154151seqeq1d 10164 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃) = seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃))
155154fveq1d 5389 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
156148, 153, 1553eqtr4d 2158 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
157140, 156oveq12d 5758 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐾 − 1)) + (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐾 − 1)) + (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
158142adantlr 466 . . . 4 (((𝜑𝑀 < 𝐾) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
159 elfzuz3 9743 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
1601, 159syl 14 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
161160adantr 272 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
162151fveq2d 5391 . . . . 5 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)) = (ℤ𝐾))
163161, 162eleqtrrd 2195 . . . 4 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝐾 − 1) + 1)))
164139, 158, 163, 15, 136seq3split 10192 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘(𝐾 − 1)) + (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
165139, 158, 163, 15, 137seq3split 10192 . . 3 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘(𝐾 − 1)) + (seq((𝐾 − 1) + 1)( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
166157, 164, 1653eqtr4d 2158 . 2 ((𝜑𝑀 < 𝐾) → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
167147adantr 272 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐾) → (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
168 seqeq1 10161 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐾 → seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃) = seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃))
169168fveq1d 5389 . . . . 5 (𝑀 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
170 seqeq1 10161 . . . . . 6 (𝑀 = 𝐾 → seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃) = seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃))
171170fveq1d 5389 . . . . 5 (𝑀 = 𝐾 → (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
172169, 171eqeq12d 2130 . . . 4 (𝑀 = 𝐾 → ((seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) ↔ (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
173172adantl 273 . . 3 ((𝜑𝑀 = 𝐾) → ((seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁) ↔ (seq𝐾( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝐾( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁)))
174167, 173mpbird 166 . 2 ((𝜑𝑀 = 𝐾) → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
175 elfzle1 9747 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐾)
1761, 175syl 14 . . 3 (𝜑𝑀𝐾)
177 zleloe 9052 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾)))
1783, 6, 177syl2anc 406 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝐾 ↔ (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾)))
179176, 178mpbid 146 . 2 (𝜑 → (𝑀 < 𝐾𝑀 = 𝐾))
180166, 174, 179mpjaodan 770 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐽 / 𝑓𝑃)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝑄 / 𝑓𝑃)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 680  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283  wral 2391  Vcvv 2658  csb 2973  ifcif 3442   class class class wbr 3897  cmpt 3957  ccnv 4506  wf 5087  1-1-ontowf1o 5090  cfv 5091  (class class class)co 5740  Fincfn 6600  cc 7582  cr 7583  1c1 7585   + caddc 7587   < clt 7764  cle 7765  cmin 7897  cz 9005  cuz 9275  ...cfz 9730  ..^cfzo 9859  seqcseq 10158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-seqfrec 10159
This theorem is referenced by:  seq3f1olemstep  10214
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