ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facubnd GIF version

Theorem facubnd 10739
Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
facubnd (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))

Proof of Theorem facubnd
Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5527 . . . 4 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2 fac0 10722 . . . 4 (!‘0) = 1
31, 2eqtrdi 2236 . . 3 (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4 id 19 . . . . 5 (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
54, 4oveq12d 5906 . . . 4 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = (0↑0))
6 0exp0e1 10539 . . . 4 (0↑0) = 1
75, 6eqtrdi 2236 . . 3 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑚) = 1)
83, 7breq12d 4028 . 2 (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9 fveq2 5527 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10 id 19 . . . 4 (𝑚 = 𝑘𝑚 = 𝑘)
1110, 10oveq12d 5906 . . 3 (𝑚 = 𝑘 → (𝑚𝑚) = (𝑘𝑘))
129, 11breq12d 4028 . 2 (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)))
13 fveq2 5527 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14 id 19 . . . 4 (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
1514, 14oveq12d 5906 . . 3 (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
1613, 15breq12d 4028 . 2 (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17 fveq2 5527 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18 id 19 . . . 4 (𝑚 = 𝑁𝑚 = 𝑁)
1918, 18oveq12d 5906 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑚) = (𝑁𝑁))
2017, 19breq12d 4028 . 2 (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁)))
21 1le1 8543 . 2 1 ≤ 1
22 faccl 10729 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2322adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
2423nnred 8946 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25 nn0re 9199 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
2625adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2826, 27reexpcld 10685 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ∈ ℝ)
29 nn0p1nn 9229 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3029adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3130nnred 8946 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
3231, 27reexpcld 10685 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘))
34 nn0ge0 9215 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
3534adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
3626lep1d 8902 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37 leexp1a 10589 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3826, 31, 27, 35, 36, 37syl32anc 1256 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
3924, 28, 32, 33, 38letrd 8095 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
4030nngt0d 8977 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41 lemul1 8564 . . . . . 6 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4224, 32, 31, 40, 41syl112anc 1252 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
4339, 42mpbid 147 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44 facp1 10724 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4544adantr 276 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
4630nncnd 8947 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4746, 27expp1d 10669 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
4843, 45, 473brtr4d 4047 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
4948ex 115 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
508, 12, 16, 20, 21, 49nn0ind 9381 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158   class class class wbr 4015  cfv 5228  (class class class)co 5888  cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cle 8007  cn 8933  0cn0 9190  cexp 10533  !cfa 10719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator