ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsmulgcd GIF version

Theorem dvdsmulgcd 12039
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvdsmulgcd ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))

Proof of Theorem dvdsmulgcd
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 528 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
2 dvdszrcl 11812 . . . . . 6 (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
32adantl 277 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค))
43simpld 112 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 bezout 12025 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
61, 4, 5syl2anc 411 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
74adantr 276 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
8 simplll 533 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
9 simpllr 534 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
10 simprl 529 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
119, 10zmulcld 9394 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„ค)
128, 11zmulcld 9394 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค)
13 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
147, 13zmulcld 9394 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
158, 14zmulcld 9394 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค)
16 simplr 528 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
178, 9zmulcld 9394 . . . . . . . . . 10 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
18 dvdsmultr1 11851 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ)))
197, 17, 10, 18syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ)))
2016, 19mpd 13 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ))
218zcnd 9389 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
229zcnd 9389 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2310zcnd 9389 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
2421, 22, 23mulassd 7994 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ต ยท ๐ถ) ยท ๐‘ฅ) = (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
2520, 24breqtrd 4041 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)))
268, 13zmulcld 9394 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค)
27 dvdsmul1 11833 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
287, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
297zcnd 9389 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3013zcnd 9389 . . . . . . . . 9 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3121, 29, 30mul12d 8122 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐‘ฆ)))
3228, 31breqtrrd 4043 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)))
33 dvds2add 11845 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)))))
3433imp 124 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ)))) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
357, 12, 15, 25, 32, 34syl32anc 1256 . . . . . 6 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3611zcnd 9389 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
3714zcnd 9389 . . . . . . 7 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‚)
3821, 36, 37adddid 7995 . . . . . 6 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))) = ((๐ต ยท (๐ถ ยท ๐‘ฅ)) + (๐ต ยท (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
3935, 38breqtrrd 4043 . . . . 5 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
40 oveq2 5896 . . . . . 6 ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) = (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ))))
4140breq2d 4027 . . . . 5 ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)))))
4239, 41syl5ibrcom 157 . . . 4 ((((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
4342rexlimdvva 2612 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค (๐ถ gcd ๐ด) = ((๐ถ ยท ๐‘ฅ) + (๐ด ยท ๐‘ฆ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
446, 43mpd 13 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)))
45 dvdszrcl 11812 . . . . 5 (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค))
4645adantl 277 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค))
4746simpld 112 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
4846simprd 114 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค)
49 zmulcl 9319 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
5049adantr 276 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค)
51 simpr 110 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)))
52 simplr 528 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
53 gcddvds 11977 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ด))
5452, 47, 53syl2anc 411 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โˆง (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ด))
5554simpld 112 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ)
5652, 47gcdcld 11982 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„•0)
5756nn0zd 9386 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„ค)
58 simpll 527 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
59 dvdscmul 11838 . . . . 5 (((๐ถ gcd ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
6057, 52, 58, 59syl3anc 1248 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ((๐ถ gcd ๐ด) โˆฅ ๐ถ โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
6155, 60mpd 13 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
62 dvdstr 11848 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ)))
6362imp 124 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆง (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด)) โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
6447, 48, 50, 51, 61, 63syl32anc 1256 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))) โ†’ ๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ))
6544, 64impbida 596 1 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆฅ (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ๐ด โˆฅ (๐ต ยท (๐ถ gcd ๐ด))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   + caddc 7827   ยท cmul 7829  โ„คcz 9266   โˆฅ cdvds 11807   gcd cgcd 11956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808  df-gcd 11957
This theorem is referenced by:  coprmdvds  12105
  Copyright terms: Public domain W3C validator