Theorem dvdsmulgcd 11456

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd	⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))))

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 498	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
2		dvdszrcl 11243	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ))
3	2	adantl 272	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ))
4	3	simpld 111	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℤ)
5		bezout 11442	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 gcd 𝐴) = ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)))
6	1, 4, 5	syl2anc 404	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 gcd 𝐴) = ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)))
7	4	adantr 271	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
8		simplll 501	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
9		simpllr 502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℤ)
10		simprl 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	9, 10	zmulcld 8973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℤ)
12	8, 11	zmulcld 8973	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℤ)
13		simprr 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
14	7, 13	zmulcld 8973	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℤ)
15	8, 14	zmulcld 8973	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℤ)
16		simplr 498	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶))
17	8, 9	zmulcld 8973	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
18		dvdsmultr1 11276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 ∥ ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶) → 𝐴 ∥ ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥)))
20	16, 19	mpd 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥))
21	8	zcnd 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	9	zcnd 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	10	zcnd 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
24	21, 22, 23	mulassd 7608	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐵 · 𝐶) · 𝑥) = (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
25	20, 24	breqtrd 3891	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)))
26	8, 13	zmulcld 8973	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ)
27		dvdsmul1 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝑦) ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · (𝐵 · 𝑦)))
28	7, 26, 27	syl2anc 404	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ (𝐴 · (𝐵 · 𝑦)))
29	7	zcnd 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	13	zcnd 8968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
31	21, 29, 30	mul12d 7731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝑦)))
32	28, 31	breqtrrd 3893	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)))
33		dvds2add 11272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐴 · 𝑦))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) + (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)))))
34	33	imp 123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐴 · 𝑦)))) → 𝐴 ∥ ((𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) + (𝐵 · (𝐴 · 𝑦))))
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1189	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ ((𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) + (𝐵 · (𝐴 · 𝑦))))
36	11	zcnd 8968	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐶 · 𝑥) ∈ ℂ)
37	14	zcnd 8968	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐴 · 𝑦) ∈ ℂ)
38	21, 36, 37	adddid 7609	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝐵 · ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦))) = ((𝐵 · (𝐶 · 𝑥)) + (𝐵 · (𝐴 · 𝑦))))
39	35, 38	breqtrrd 3893	. . . . 5 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦))))
40		oveq2 5698	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 gcd 𝐴) = ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)) → (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) = (𝐵 · ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦))))
41	40	breq2d 3879	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 gcd 𝐴) = ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)) → (𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ↔ 𝐴 ∥ (𝐵 · ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)))))
42	39, 41	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝐶 gcd 𝐴) = ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))))
43	42	rexlimdvva 2510	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝐶 gcd 𝐴) = ((𝐶 · 𝑥) + (𝐴 · 𝑦)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))))
44	6, 43	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)))
45		dvdszrcl 11243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∈ ℤ))
46	45	adantl 272	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∈ ℤ))
47	46	simpld 111	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → 𝐴 ∈ ℤ)
48	46	simprd 113	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∈ ℤ)
49		zmulcl 8901	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
50	49	adantr 271	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ)
51		simpr 109	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)))
52		simplr 498	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → 𝐶 ∈ ℤ)
53		gcddvds 11397	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐴))
54	52, 47, 53	syl2anc 404	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → ((𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐴))
55	54	simpld 111	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐶)
56	52, 47	gcdcld 11402	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐶 gcd 𝐴) ∈ ℕ0)
57	56	nn0zd 8965	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐶 gcd 𝐴) ∈ ℤ)
58		simpll 497	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → 𝐵 ∈ ℤ)
59		dvdscmul 11265	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 gcd 𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐶 → (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∥ (𝐵 · 𝐶)))
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1181	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → ((𝐶 gcd 𝐴) ∥ 𝐶 → (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∥ (𝐵 · 𝐶)))
61	55, 60	mpd 13	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∥ (𝐵 · 𝐶))
62		dvdstr 11275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∧ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∥ (𝐵 · 𝐶)) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶)))
63	62	imp 123	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∧ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴)) ∥ (𝐵 · 𝐶))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶))
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1189	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))) → 𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶))
65	44, 64	impbida 564	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝐵 · 𝐶) ↔ 𝐴 ∥ (𝐵 · (𝐶 gcd 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∃wrex 2371   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   + caddc 7450   · cmul 7452  ℤcz 8848   ∥ cdvds 11238   gcd cgcd 11380

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561  ax-caucvg 7562

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-if 3414  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-ilim 4220  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-frec 6194  df-sup 6759  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-2 8579  df-3 8580  df-4 8581  df-n0 8772  df-z 8849  df-uz 9119  df-q 9204  df-rp 9234  df-fz 9574  df-fzo 9703  df-fl 9826  df-mod 9879  df-iseq 10002  df-seq3 10003  df-exp 10086  df-cj 10407  df-re 10408  df-im 10409  df-rsqrt 10562  df-abs 10563  df-dvds 11239  df-gcd 11381

This theorem is referenced by:  coprmdvds  11516