Theorem modprmn0modprm0 12273

Description: For an integer not being 0 modulo a given prime number and a nonnegative integer less than the prime number, there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprmn0modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprmn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1001	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 12127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 10364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
4	2, 3	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
5	4	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
6	5	3adant3 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
7		fzo1fzo0n0 10200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ↔ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0))
8	7	simplbi2com 1454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ≠ 0 → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
9	8	3ad2ant3 1021	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
10	6, 9	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
12		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑃))
13		nnnn0modprm0 12272	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
14	1, 11, 12, 13	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
15		elfzoelz 10164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℂ)
17	2	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
18		zmodcl 10361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
19		nn0cn 9203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
21	20	3adant3 1018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
23		mulcom 7957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
24	16, 22, 23	syl2anr 290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
25	24	oveq2d 5906	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) = (𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)))
26	25	oveq1d 5905	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃))
27		elfzoelz 10164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
29		zq 9643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℚ)
31		simpll2 1038	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		zq 9643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℚ)
34	15	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35	2	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
36	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
37		nnq 9650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
39	2	nnrpd 9711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
40	39	3ad2ant1 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
41	40	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
42	41	rpgt0d 9716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 0 < 𝑃)
43		modqaddmulmod 10408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
44	30, 33, 34, 38, 42, 43	syl32anc 1256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
45		zcn 9275	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	16	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcomd 7996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
49	48	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
50	49	3ad2ant2 1020	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
52	51	imp 124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
53	52	oveq2d 5906	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)))
54	53	oveq1d 5905	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
55	26, 44, 54	3eqtrrd 2226	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃))
56	55	eqeq1d 2197	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
57	56	rexbidva 2486	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
58	14, 57	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
59	58	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2159   ≠ wne 2359  ∃wrex 2468   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890  ℂcc 7826  0cc0 7828  1c1 7829   + caddc 7831   · cmul 7833   < clt 8009  ℕcn 8936  ℕ₀cn0 9193  ℤcz 9270  ℚcq 9636  ℝ⁺crp 9670  ..^cfzo 10159   mod cmo 10339  ℙcprime 12124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946  ax-arch 7947  ax-caucvg 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-isom 5239  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-frec 6409  df-1o 6434  df-2o 6435  df-oadd 6438  df-er 6552  df-en 6758  df-dom 6759  df-fin 6760  df-sup 7000  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-q 9637  df-rp 9671  df-fz 10026  df-fzo 10160  df-fl 10287  df-mod 10340  df-seqfrec 10463  df-exp 10537  df-ihash 10773  df-cj 10868  df-re 10869  df-im 10870  df-rsqrt 11024  df-abs 11025  df-clim 11304  df-proddc 11576  df-dvds 11812  df-gcd 11961  df-prm 12125  df-phi 12228

This theorem is referenced by: (None)