Theorem modprmn0modprm0 12147

Description: For an integer not being 0 modulo a given prime number and a nonnegative integer less than the prime number, there is always a second nonnegative integer (less than the given prime number) so that the sum of this second nonnegative integer multiplied with the integer and the first nonnegative integer is 0 ( modulo the given prime number). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
modprmn0modprm0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐼   𝑗,𝑁   𝑃,𝑗

Proof of Theorem modprmn0modprm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 985	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
2		prmnn 12003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3		zmodfzo 10256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
4	2, 3	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
5	4	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
6	5	3adant3 1002	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃))
7		fzo1fzo0n0 10092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ↔ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0))
8	7	simplbi2com 1424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ≠ 0 → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
9	8	3ad2ant3 1005	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → ((𝑁 mod 𝑃) ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃)))
10	6, 9	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃))
12		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ (0..^𝑃))
13		nnnn0modprm0 12146	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ (1..^𝑃) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
14	1, 11, 12, 13	syl3anc 1220	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0)
15		elfzoelz 10056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℤ)
16	15	zcnd 9293	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → 𝑗 ∈ ℂ)
17	2	anim1ci 339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ))
18		zmodcl 10253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0)
19		nn0cn 9106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 mod 𝑃) ∈ ℕ0 → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
20	17, 18, 19	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
21	20	3adant3 1002	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
22	21	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ)
23		mulcom 7864	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ∈ ℂ) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
24	16, 22, 23	syl2anr 288	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃)) = ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗))
25	24	oveq2d 5843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) = (𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)))
26	25	oveq1d 5842	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃))
27		elfzoelz 10056	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → 𝐼 ∈ ℤ)
28	27	ad2antlr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℤ)
29		zq 9542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ ℚ)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝐼 ∈ ℚ)
31		simpll2 1022	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℤ)
32		zq 9542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
33	31, 32	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℚ)
34	15	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℤ)
35	2	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
36	35	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
37		nnq 9549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
38	36, 37	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℚ)
39	2	nnrpd 9608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
40	39	3ad2ant1 1003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℝ+)
41	40	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
42	41	rpgt0d 9613	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 0 < 𝑃)
43		modqaddmulmod 10300	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
44	30, 33, 34, 38, 42, 43	syl32anc 1228	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + ((𝑁 mod 𝑃) · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃))
45		zcn 9178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
46	45	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑁 ∈ ℂ)
47	16	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → 𝑗 ∈ ℂ)
48	46, 47	mulcomd 7902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
49	48	ex 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
50	49	3ad2ant2 1004	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
51	50	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑗 ∈ (0..^𝑃) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁)))
52	51	imp 123	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝑁 · 𝑗) = (𝑗 · 𝑁))
53	52	oveq2d 5843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) = (𝐼 + (𝑗 · 𝑁)))
54	53	oveq1d 5842	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑁 · 𝑗)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃))
55	26, 44, 54	3eqtrrd 2195	. . . . 5 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → ((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃))
56	55	eqeq1d 2166	. . . 4 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑃)) → (((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
57	56	rexbidva 2454	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → (∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0 ↔ ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · (𝑁 mod 𝑃))) mod 𝑃) = 0))
58	14, 57	mpbird 166	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝑃)) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0)
59	58	ex 114	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 mod 𝑃) ≠ 0) → (𝐼 ∈ (0..^𝑃) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑃)((𝐼 + (𝑗 · 𝑁)) mod 𝑃) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327  ∃wrex 2436   class class class wbr 3967  (class class class)co 5827  ℂcc 7733  0cc0 7735  1c1 7736   + caddc 7738   · cmul 7740   < clt 7915  ℕcn 8839  ℕ₀cn0 9096  ℤcz 9173  ℚcq 9535  ℝ⁺crp 9567  ..^cfzo 10051   mod cmo 10231  ℙcprime 12000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4082  ax-sep 4085  ax-nul 4093  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-iinf 4550  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-mulrcl 7834  ax-addcom 7835  ax-mulcom 7836  ax-addass 7837  ax-mulass 7838  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-1rid 7842  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-precex 7845  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851  ax-pre-mulgt0 7852  ax-pre-mulext 7853  ax-arch 7854  ax-caucvg 7855

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-tr 4066  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-iord 4329  df-on 4331  df-ilim 4332  df-suc 4334  df-iom 4553  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-recs 6255  df-irdg 6320  df-frec 6341  df-1o 6366  df-2o 6367  df-oadd 6370  df-er 6483  df-en 6689  df-dom 6690  df-fin 6691  df-sup 6931  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-reap 8455  df-ap 8462  df-div 8551  df-inn 8840  df-2 8898  df-3 8899  df-4 8900  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-q 9536  df-rp 9568  df-fz 9920  df-fzo 10052  df-fl 10179  df-mod 10232  df-seqfrec 10355  df-exp 10429  df-ihash 10662  df-cj 10754  df-re 10755  df-im 10756  df-rsqrt 10910  df-abs 10911  df-clim 11188  df-proddc 11460  df-dvds 11696  df-gcd 11843  df-prm 12001  df-phi 12102

This theorem is referenced by: (None)