Theorem nn0ltexp2 10688

Description: Special case of ltexp2 14330 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 14250 which is used in the current proof of ltexp2 14330. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltexp2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem nn0ltexp2

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1036	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpll2 1037	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9372	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpll3 1038	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9372	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simplr 528	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
8		ltexp2a 10571	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1246	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))
10	9	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))
11		oveq2 5882	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑀))
12	11	breq1d 4013	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))
13		breq1 4006	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 < 𝑁 ↔ 𝑀 < 𝑁))
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁) ↔ ((𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁) → 𝑀 < 𝑁)))
15		simpl3 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl1 1000	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
18		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
19	18	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0)))
20		breq2 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < 0))
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0)))
22	21	ralbidv 2477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0)))
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0))))
24		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
25	24	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘)))
26		breq2 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < 𝑘))
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)))
28	27	ralbidv 2477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)))
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘))))
30		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
31	30	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))))
32		breq2 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < (𝑘 + 1)))
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
34	33	ralbidv 2477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))))
36		oveq2 5882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
37	36	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁)))
38		breq2 4007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < 𝑁))
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁)))
40	39	ralbidv 2477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁)))
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁))))
42		recn 7943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	43	exp0d 10647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
45		1re 7955	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
46	44, 45	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) ∈ ℝ)
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
49	47, 48	reexpcld 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℝ)
50		1red 7971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 𝐴)
52	50, 47, 51	ltled 8075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐴)
53	47, 48, 52	expge1d 10672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐴↑𝑚))
54	44, 53	eqbrtrd 4025	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) ≤ (𝐴↑𝑚))
55	46, 49, 54	lensymd 8078	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ¬ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0))
56	55	pm2.21d 619	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0))
57	56	ralrimiva 2550	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0))
58		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝐴↑𝑝) = (𝐴↑𝑚))
59	58	breq1d 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘)))
60		breq1 4006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝑝 < 𝑘 ↔ 𝑚 < 𝑘))
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)))
62	61	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘))
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)))
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
66	65	recnd 7985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
68		expm1t 10547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑚) = ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴))
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑚) = ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴))
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
71	66, 70	expp1d 10654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
72	63, 69, 71	3brtr3d 4034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴) < ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
73		nnm1nn0 9216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
75	65, 74	reexpcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
76	65, 70	reexpcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
77		0red 7957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
78		1red 7971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
79		0lt1 8083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 1
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 0 < 1)
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 1 < 𝐴)
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
83	64, 82	elrpd 9692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
85	75, 76, 84	ltmul1d 9737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴) < ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
87		oveq2 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → (𝐴↑𝑝) = (𝐴↑(𝑚 − 1)))
88	87	breq1d 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘)))
89		breq1 4006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → (𝑝 < 𝑘 ↔ (𝑚 − 1) < 𝑘))
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → (((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) ↔ ((𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘) → (𝑚 − 1) < 𝑘)))
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘))
92	90, 91, 74	rspcdva 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘) → (𝑚 − 1) < 𝑘))
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) < 𝑘)
94		nnz 9271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
96	70	nn0zd 9372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
97		zlem1lt 9308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 − 1) < 𝑘))
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 − 1) < 𝑘))
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑘)
100		zleltp1 9307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ 𝑚 < (𝑘 + 1)))
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ 𝑚 < (𝑘 + 1)))
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑘 + 1))
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
104		nn0p1gt0 9204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑘 + 1))
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 = 0) → 0 < (𝑘 + 1))
106	103, 105	eqbrtrd 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 < (𝑘 + 1))
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
108		elnn0 9177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
110	102, 106, 109	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) → 𝑚 < (𝑘 + 1))
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))
112	111	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → (∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
115	114	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))))
116	115	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))))
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9366	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁)))
118	117	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁))
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1236	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁))
120		simpl2 1001	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ0)
121	14, 119, 120	rspcdva 2846	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
122	10, 121	impbid 129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7991   ≤ cle 7992   − cmin 8127  ℕcn 8918  ℕ₀cn0 9175  ℤcz 9252  ℝ⁺crp 9652  ↑cexp 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-rp 9653  df-seqfrec 10445  df-exp 10519

This theorem is referenced by:  nn0leexp2  10689  isprm5  12141  pclemub  12286