Theorem nn0ltexp2 10780

Description: Special case of ltexp2 15074 which we use here because we haven't yet defined df-rpcxp 14994 which is used in the current proof of ltexp2 15074. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ltexp2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))

Proof of Theorem nn0ltexp2

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑝 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1038	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simpll2 1039	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 9437	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		simpll3 1040	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	nn0zd 9437	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		simplr 528	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 1 < 𝐴)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
8		ltexp2a 10662	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (1 < 𝐴 ∧ 𝑀 < 𝑁)) → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))
9	1, 3, 5, 6, 7, 8	syl32anc 1257	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁))
10	9	ex 115	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))
11		oveq2 5926	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝐴↑𝑚) = (𝐴↑𝑀))
12	11	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))
13		breq1 4032	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑚 < 𝑁 ↔ 𝑀 < 𝑁))
14	12, 13	imbi12d 234	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁) ↔ ((𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁) → 𝑀 < 𝑁)))
15		simpl3 1004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 1 < 𝐴)
18		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑0))
19	18	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0)))
20		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < 0))
21	19, 20	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0)))
22	21	ralbidv 2494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0)))
23	22	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0))))
24		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑘))
25	24	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘)))
26		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < 𝑘))
27	25, 26	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)))
28	27	ralbidv 2494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)))
29	28	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘))))
30		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
31	30	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))))
32		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < (𝑘 + 1)))
33	31, 32	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
34	33	ralbidv 2494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
35	34	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))))
36		oveq2 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝐴↑𝑤) = (𝐴↑𝑁))
37	36	breq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁)))
38		breq2 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (𝑚 < 𝑤 ↔ 𝑚 < 𝑁))
39	37, 38	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁)))
40	39	ralbidv 2494	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁)))
41	40	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑤) → 𝑚 < 𝑤)) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁))))
42		recn 8005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
43	42	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
44	43	exp0d 10738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) = 1)
45		1re 8018	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
46	44, 45	eqeltrdi 2284	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) ∈ ℝ)
47		simpll 527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
48		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
49	47, 48	reexpcld 10761	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑚) ∈ ℝ)
50		1red 8034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
51		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 < 𝐴)
52	50, 47, 51	ltled 8138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐴)
53	47, 48, 52	expge1d 10763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝐴↑𝑚))
54	44, 53	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝐴↑0) ≤ (𝐴↑𝑚))
55	46, 49, 54	lensymd 8141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ¬ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0))
56	55	pm2.21d 620	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0))
57	56	ralrimiva 2567	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑0) → 𝑚 < 0))
58		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝐴↑𝑝) = (𝐴↑𝑚))
59	58	breq1d 4039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘)))
60		breq1 4032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (𝑝 < 𝑘 ↔ 𝑚 < 𝑘))
61	59, 60	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = 𝑚 → (((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)))
62	61	cbvralv 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘))
63		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)))
64		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ)
65	64	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
66	65	recnd 8048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
68		expm1t 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑚) = ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴))
69	66, 67, 68	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑚) = ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴))
70		simp-5l 543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
71	66, 70	expp1d 10745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
72	63, 69, 71	3brtr3d 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴) < ((𝐴↑𝑘) · 𝐴))
73		nnm1nn0 9281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
74	73	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) ∈ ℕ0)
75	65, 74	reexpcld 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑚 − 1)) ∈ ℝ)
76	65, 70	reexpcld 10761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℝ)
77		0red 8020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
78		1red 8034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 1 ∈ ℝ)
79		0lt1 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 1
80	79	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 0 < 1)
81		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 1 < 𝐴)
82	77, 78, 64, 80, 81	lttrd 8145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 0 < 𝐴)
83	64, 82	elrpd 9759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
84	83	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ+)
85	75, 76, 84	ltmul1d 9804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑(𝑚 − 1)) · 𝐴) < ((𝐴↑𝑘) · 𝐴)))
86	72, 85	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘))
87		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → (𝐴↑𝑝) = (𝐴↑(𝑚 − 1)))
88	87	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) ↔ (𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘)))
89		breq1 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → (𝑝 < 𝑘 ↔ (𝑚 − 1) < 𝑘))
90	88, 89	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = (𝑚 − 1) → (((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) ↔ ((𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘) → (𝑚 − 1) < 𝑘)))
91		simp-4r 542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘))
92	90, 91, 74	rspcdva 2869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴↑(𝑚 − 1)) < (𝐴↑𝑘) → (𝑚 − 1) < 𝑘))
93	86, 92	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 − 1) < 𝑘)
94		nnz 9336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
96	70	nn0zd 9437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
97		zlem1lt 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 − 1) < 𝑘))
98	95, 96, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ (𝑚 − 1) < 𝑘))
99	93, 98	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≤ 𝑘)
100		zleltp1 9372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ 𝑚 < (𝑘 + 1)))
101	95, 96, 100	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 ≤ 𝑘 ↔ 𝑚 < (𝑘 + 1)))
102	99, 101	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 < (𝑘 + 1))
103		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 = 0)
104		nn0p1gt0 9269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑘 + 1))
105	104	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 = 0) → 0 < (𝑘 + 1))
106	103, 105	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) ∧ 𝑚 = 0) → 𝑚 < (𝑘 + 1))
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
108		elnn0 9242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
109	107, 108	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) → (𝑚 ∈ ℕ ∨ 𝑚 = 0))
110	102, 106, 109	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) ∧ (𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1))) → 𝑚 < (𝑘 + 1))
111	110	ex 115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))
112	111	ralrimiva 2567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))
113	112	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → (∀𝑝 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑝) < (𝐴↑𝑘) → 𝑝 < 𝑘) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
114	62, 113	biimtrrid 153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1))))
115	114	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → (∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))))
116	115	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑘) → 𝑚 < 𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑(𝑘 + 1)) → 𝑚 < (𝑘 + 1)))))
117	23, 29, 35, 41, 57, 116	nn0ind 9431	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁)))
118	117	imp 124	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐴)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁))
119	15, 16, 17, 118	syl12anc 1247	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐴↑𝑚) < (𝐴↑𝑁) → 𝑚 < 𝑁))
120		simpl2 1003	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → 𝑀 ∈ ℕ0)
121	14, 119, 120	rspcdva 2869	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁) → 𝑀 < 𝑁))
122	10, 121	impbid 129	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 1 < 𝐴) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴↑𝑀) < (𝐴↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℕcn 8982  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℝ⁺crp 9719  ↑cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  nn0leexp2  10781  isprm5  12280  pclemub  12425