ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1o GIF version

Theorem seq3f1o 10609
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on (𝑀...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1o.h ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1o.8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1o (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹   𝑥,𝐻,𝑦,𝑘   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘   𝑥, + ,𝑦,𝑧   + ,𝑘   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑧)

Proof of Theorem seq3f1o
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 elfzle2 10103 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑁)
32iftrued 3568 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
43adantl 277 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
5 elfzuz 10096 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 fveq2 5558 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
76eleq1d 2265 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆))
8 iseqf1o.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
98ralrimiva 2570 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
109adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
11 iseqf1o.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
12 f1of 5504 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1413ffvelcdmda 5697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
15 elfzuz 10096 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝑀))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝑀))
177, 10, 16rspcdva 2873 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆)
184, 17eqeltrd 2273 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
19 breq1 4036 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝑎𝑁𝑘𝑁))
20 2fveq3 5563 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐺‘(𝐹𝑎)) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
2119, 20ifbieq1d 3583 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)) = if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)))
22 eqid 2196 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))) = (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))
2321, 22fvmptg 5637 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)))
245, 18, 23syl2an2 594 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)))
25 iseqf1o.8 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
264, 24, 253eqtr4rd 2240 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑘))
27 iseqf1o.h . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝑆)
28 simpr 110 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
29 fveq2 5558 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐹𝑥) → (𝐺𝑏) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3029eleq1d 2265 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐹𝑥) → ((𝐺𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝑆))
31 fveq2 5558 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑏))
3231eleq1d 2265 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑏) ∈ 𝑆))
3332cbvralv 2729 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑏) ∈ 𝑆)
349, 33sylib 122 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑏) ∈ 𝑆)
3534ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑏) ∈ 𝑆)
3613ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
37 eluzel2 9606 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
381, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3938ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
40 eluzelz 9610 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
411, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 eluzelz 9610 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4443ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
45 eluzle 9613 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
4645ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝑥)
47 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
48 elfz4 10093 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4939, 42, 44, 46, 47, 48syl32anc 1257 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5036, 49ffvelcdmd 5698 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
51 elfzuz 10096 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
5250, 51syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
5330, 35, 52rspcdva 2873 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐺‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
54 fveq2 5558 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑀))
5554eleq1d 2265 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑀) ∈ 𝑆))
56 uzid 9615 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
5738, 56syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
5855, 9, 57rspcdva 2873 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
5958ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
6041adantr 276 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 zdcle 9402 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑁)
6243, 60, 61syl2an2 594 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥𝑁)
6353, 59, 62ifcldadc 3590 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
64 breq1 4036 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑁𝑥𝑁))
65 2fveq3 5563 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝐺‘(𝐹𝑎)) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
6664, 65ifbieq1d 3583 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
6766, 22fvmptg 5637 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
6828, 63, 67syl2anc 411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
6968, 63eqeltrd 2273 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑥) ∈ 𝑆)
70 iseqf1o.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
711, 26, 27, 69, 70seq3fveq 10571 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))))‘𝑁))
72 iseqf1o.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
73 iseqf1o.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
7466cbvmptv 4129 . . 3 (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
7570, 72, 73, 1, 11, 8, 74seq3f1oleml 10608 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
7671, 75eqtrd 2229 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  DECID wdc 835  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2167  wral 2475  ifcif 3561   class class class wbr 4033  cmpt 4094  wf 5254  1-1-ontowf1o 5257  cfv 5258  (class class class)co 5922  cle 8062  cz 9326  cuz 9601  ...cfz 10083  seqcseq 10539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540
This theorem is referenced by:  summodclem3  11545  prodmodclem3  11740
  Copyright terms: Public domain W3C validator