ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3f1o GIF version

Theorem seq3f1o 9929
Description: Rearrange a sum via an arbitrary bijection on (𝑀...𝑁). (Contributed by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqf1o.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
iseqf1o.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
iseqf1o.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
iseqf1o.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
iseqf1o.6 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
iseqf1o.7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1o.h ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝑆)
iseqf1o.8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
Assertion
Ref Expression
seq3f1o (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀,𝑦,𝑧   𝑘,𝑀   𝑥,𝑁,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑘,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑘,𝐹   𝑥,𝐻,𝑦,𝑘   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘   𝑥, + ,𝑦,𝑧   + ,𝑘   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑧)

Proof of Theorem seq3f1o
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqf1o.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 elfzle2 9440 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘𝑁)
32iftrued 3400 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
43adantl 271 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
5 elfzuz 9434 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 fveq2 5305 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
76eleq1d 2156 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆))
8 iseqf1o.7 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
98ralrimiva 2446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
109adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆)
11 iseqf1o.6 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁))
12 f1of 5253 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝑀...𝑁)–1-1-onto→(𝑀...𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1311, 12syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
1413ffvelrnda 5434 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
15 elfzuz 9434 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝑀))
1614, 15syl 14 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℤ𝑀))
177, 10, 16rspcdva 2727 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ 𝑆)
184, 17eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
19 breq1 3848 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝑎𝑁𝑘𝑁))
20 2fveq3 5310 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑘 → (𝐺‘(𝐹𝑎)) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
2119, 20ifbieq1d 3413 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑘 → if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)) = if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)))
22 eqid 2088 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))) = (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))
2321, 22fvmptg 5380 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)))
245, 18, 23syl2an2 561 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑘) = if(𝑘𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑘)), (𝐺𝑀)))
25 iseqf1o.8 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
264, 24, 253eqtr4rd 2131 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑘))
27 iseqf1o.h . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻𝑥) ∈ 𝑆)
28 simpr 108 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑥 ∈ (ℤ𝑀))
29 fveq2 5305 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝐹𝑥) → (𝐺𝑏) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
3029eleq1d 2156 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝐹𝑥) → ((𝐺𝑏) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝑆))
31 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑏))
3231eleq1d 2156 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑏) ∈ 𝑆))
3332cbvralv 2590 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑏) ∈ 𝑆)
349, 33sylib 120 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑏) ∈ 𝑆)
3534ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → ∀𝑏 ∈ (ℤ𝑀)(𝐺𝑏) ∈ 𝑆)
3613ad2antrr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶(𝑀...𝑁))
37 eluzel2 9022 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
381, 37syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3938ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
40 eluzelz 9026 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
411, 40syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4241ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 eluzelz 9026 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
4443ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
45 eluzle 9029 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑥)
4645ad2antlr 473 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝑥)
47 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
48 elfz4 9431 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑀𝑥𝑥𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
4939, 42, 44, 46, 47, 48syl32anc 1182 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5036, 49ffvelrnd 5435 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑀...𝑁))
51 elfzuz 9434 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
5250, 51syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐹𝑥) ∈ (ℤ𝑀))
5330, 35, 52rspcdva 2727 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑥𝑁) → (𝐺‘(𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
54 fveq2 5305 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑀 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑀))
5554eleq1d 2156 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑀 → ((𝐺𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝐺𝑀) ∈ 𝑆))
56 uzid 9031 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
5738, 56syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
5855, 9, 57rspcdva 2727 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
5958ad2antrr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ ¬ 𝑥𝑁) → (𝐺𝑀) ∈ 𝑆)
6041adantr 270 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 zdcle 8821 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID 𝑥𝑁)
6243, 60, 61syl2an2 561 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → DECID 𝑥𝑁)
6353, 59, 62ifcldadc 3420 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆)
64 breq1 3848 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑁𝑥𝑁))
65 2fveq3 5310 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝐺‘(𝐹𝑎)) = (𝐺‘(𝐹𝑥)))
6664, 65ifbieq1d 3413 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑥 → if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
6766, 22fvmptg 5380 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ∧ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)) ∈ 𝑆) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
6828, 63, 67syl2anc 403 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑥) = if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
6968, 63eqeltrd 2164 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀)))‘𝑥) ∈ 𝑆)
70 iseqf1o.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
711, 26, 27, 69, 70seq3fveq 9891 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = (seq𝑀( + , (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))))‘𝑁))
72 iseqf1o.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
73 iseqf1o.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
7466cbvmptv 3934 . . 3 (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))) = (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑥𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑥)), (𝐺𝑀)))
7570, 72, 73, 1, 11, 8, 74seq3f1oleml 9928 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , (𝑎 ∈ (ℤ𝑀) ↦ if(𝑎𝑁, (𝐺‘(𝐹𝑎)), (𝐺𝑀))))‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
7671, 75eqtrd 2120 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  DECID wdc 780  w3a 924   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  ifcif 3393   class class class wbr 3845  cmpt 3899  wf 5011  1-1-ontowf1o 5014  cfv 5015  (class class class)co 5652  cle 7521  cz 8748  cuz 9017  ...cfz 9422  seqcseq 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850
This theorem is referenced by:  isummolem3  10766
  Copyright terms: Public domain W3C validator