ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modifeq2int GIF version

Theorem modifeq2int 10386
Description: If a nonnegative integer is less than twice a positive integer, the nonnegative integer modulo the positive integer equals the nonnegative integer or the nonnegative integer minus the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modifeq2int ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))

Proof of Theorem modifeq2int
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
2 nn0z 9273 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3 zq 9626 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
42, 3syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
51, 4syl 14 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
65adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
7 nnq 9633 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„• โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
873ad2ant2 1019 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
98adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
101nn0ge0d 9232 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
1110adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
12 simpr 110 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < ๐ต)
13 modqid 10349 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)
146, 9, 11, 12, 13syl22anc 1239 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = ๐ด)
15 iftrue 3540 . . . . 5 (๐ด < ๐ต โ†’ if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ๐ด)
1615eqcomd 2183 . . . 4 (๐ด < ๐ต โ†’ ๐ด = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))
1716adantl 277 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))
1814, 17eqtrd 2210 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))
195adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
208adantr 276 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„š)
21 simp2 998 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2221adantr 276 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•)
2322nngt0d 8963 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
2421nnred 8932 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
251nn0red 9230 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2624, 25lenltd 8075 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ (๐ต โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < ๐ต))
2726biimpar 297 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
28 simpl3 1002 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ ๐ด < (2 ยท ๐ต))
29 q2submod 10385 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ต โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ต โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต))) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
3019, 20, 23, 27, 28, 29syl32anc 1246 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
31 iffalse 3543 . . . . 5 (ยฌ ๐ด < ๐ต โ†’ if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
3231adantl 277 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)) = (๐ด โˆ’ ๐ต))
3332eqcomd 2183 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3430, 33eqtrd 2210 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โˆง ยฌ ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))
351, 2syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
3621nnzd 9374 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
37 zdclt 9330 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐ด < ๐ต)
38 exmiddc 836 . . . 4 (DECID ๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด < ๐ต โˆจ ยฌ ๐ด < ๐ต))
3937, 38syl 14 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด < ๐ต โˆจ ยฌ ๐ด < ๐ต))
4035, 36, 39syl2anc 411 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด < ๐ต โˆจ ยฌ ๐ด < ๐ต))
4118, 34, 40mpjaodan 798 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„• โˆง ๐ด < (2 ยท ๐ต)) โ†’ (๐ด mod ๐ต) = if(๐ด < ๐ต, ๐ด, (๐ด โˆ’ ๐ต)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆจ wo 708  DECID wdc 834   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  ifcif 3535   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875  0cc0 7811   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128  โ„•cn 8919  2c2 8970  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„šcq 9619   mod cmo 10322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-n0 9177  df-z 9254  df-q 9620  df-rp 9654  df-fl 10270  df-mod 10323
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator