ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modifeq2int GIF version

Theorem modifeq2int 10052
Description: If a nonnegative integer is less than twice a positive integer, the nonnegative integer modulo the positive integer equals the nonnegative integer or the nonnegative integer minus the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
modifeq2int ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))

Proof of Theorem modifeq2int
StepHypRef Expression
1 simp1 964 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0z 8978 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
3 zq 9320 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
42, 3syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℚ)
51, 4syl 14 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℚ)
65adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
7 nnq 9327 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℚ)
873ad2ant2 986 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℚ)
98adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
101nn0ge0d 8937 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 0 ≤ 𝐴)
1110adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 ≤ 𝐴)
12 simpr 109 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
13 modqid 10015 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
146, 9, 11, 12, 13syl22anc 1200 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = 𝐴)
15 iftrue 3445 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)) = 𝐴)
1615eqcomd 2120 . . . 4 (𝐴 < 𝐵𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
1716adantl 273 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
1814, 17eqtrd 2147 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
195adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℚ)
208adantr 272 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℚ)
21 simp2 965 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℕ)
2221adantr 272 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℕ)
2322nngt0d 8674 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
2421nnred 8643 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
251nn0red 8935 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2624, 25lenltd 7803 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐵𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2726biimpar 293 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
28 simpl3 969 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < (2 · 𝐵))
29 q2submod 10051 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < (2 · 𝐵))) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
3019, 20, 23, 27, 28, 29syl32anc 1207 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = (𝐴𝐵))
31 iffalse 3448 . . . . 5 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
3231adantl 273 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)) = (𝐴𝐵))
3332eqcomd 2120 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
3430, 33eqtrd 2147 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
351, 2syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
3621nnzd 9076 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
37 zdclt 9032 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → DECID 𝐴 < 𝐵)
38 exmiddc 804 . . . 4 (DECID 𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3937, 38syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4035, 36, 39syl2anc 406 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ∨ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4118, 34, 40mpjaodan 770 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < (2 · 𝐵)) → (𝐴 mod 𝐵) = if(𝐴 < 𝐵, 𝐴, (𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 680  DECID wdc 802  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  ifcif 3440   class class class wbr 3895  (class class class)co 5728  0cc0 7547   · cmul 7552   < clt 7724  cle 7725  cmin 7856  cn 8630  2c2 8681  0cn0 8881  cz 8958  cq 9313   mod cmo 9988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-n0 8882  df-z 8959  df-q 9314  df-rp 9344  df-fl 9936  df-mod 9989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator