Theorem ioom 10367

Description: An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ioom	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ioom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 10002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3	2	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
4	3	simp1d 1011	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	3	simp3d 1013	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6	3	simp2d 1012	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	2	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
9	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
10	4, 5, 6, 8, 9	xrlttrd 9901	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
12	11	exlimdv 1833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
13		qbtwnxr 10364	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
14		df-rex 2481	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
15	13, 14	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
16		simpl1 1002	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		simpl2 1003	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		qre 9716	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 8093	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑥)
22		simprrr 540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 < 𝐵)
23	1	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
24	16, 17, 20, 21, 22, 23	syl32anc 1257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
26	25	eximdv 1894	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
27	15, 26	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28	27	3expia 1207	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
29	12, 28	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∃wrex 2476   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925  ℝcr 7895  ℝ^*cxr 8077   < clt 8078  ℚcq 9710  (,)cioo 9980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-ioo 9984

This theorem is referenced by:  tgioo  14874