Theorem ioom 10263

Description: An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ioom	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ioom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 9912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3	2	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
4	3	simp1d 1009	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	3	simp3d 1011	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6	3	simp2d 1010	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	2	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
9	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
10	4, 5, 6, 8, 9	xrlttrd 9811	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
12	11	exlimdv 1819	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
13		qbtwnxr 10260	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
14		df-rex 2461	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
15	13, 14	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
16		simpl1 1000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		simpl2 1001	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		qre 9627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 8009	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		simprrl 539	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑥)
22		simprrr 540	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 < 𝐵)
23	1	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
24	16, 17, 20, 21, 22, 23	syl32anc 1246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
26	25	eximdv 1880	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
27	15, 26	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28	27	3expia 1205	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
29	12, 28	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978  ∃wex 1492   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  ℝ^*cxr 7993   < clt 7994  ℚcq 9621  (,)cioo 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-ioo 9894

This theorem is referenced by:  tgioo  14131