Theorem ioom 10519

Description: An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ioom	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ioom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioo3g 10144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
2	1	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
3	2	simpld 112	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*))
4	3	simp1d 1035	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5	3	simp3d 1037	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
6	3	simp2d 1036	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	2	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
9	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
10	4, 5, 6, 8, 9	xrlttrd 10043	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
11	10	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
12	11	exlimdv 1867	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
13		qbtwnxr 10516	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))
14		df-rex 2516	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
15	13, 14	sylib 122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)))
16		simpl1 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17		simpl2 1027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18		qre 9858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	rexrd 8228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21		simprrl 541	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑥)
22		simprrr 542	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 < 𝐵)
23	1	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
24	16, 17, 20, 21, 22, 23	syl32anc 1281	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
25	24	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
26	25	eximdv 1928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝐵)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
27	15, 26	mpd 13	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28	27	3expia 1231	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
29	12, 28	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∃wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  ℝ^*cxr 8212   < clt 8213  ℚcq 9852  (,)cioo 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-ioo 10126

This theorem is referenced by:  tgioo  15277