ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioom GIF version

Theorem ioom 9575
Description: An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ioom ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ioom
StepHypRef Expression
1 elioo3g 9237 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
21biimpi 118 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
32simpld 110 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
43simp1d 953 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53simp3d 955 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
63simp2d 954 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72simprd 112 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
87simpld 110 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
97simprd 112 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
104, 5, 6, 8, 9xrlttrd 9183 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
1110a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
1211exlimdv 1744 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
13 qbtwnxr 9572 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
14 df-rex 2361 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1513, 14sylib 120 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
16 simpl1 944 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 simpl2 945 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 qre 9019 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1918ad2antrl 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2019rexrd 7458 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 simprrl 506 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑥)
22 simprrr 507 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 < 𝐵)
231biimpri 131 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2416, 17, 20, 21, 22, 23syl32anc 1180 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2524ex 113 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2625eximdv 1805 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2715, 26mpd 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28273expia 1143 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2912, 28impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922  wex 1424  wcel 1436  wrex 2356   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594  cr 7270  *cxr 7442   < clt 7443  cq 9013  (,)cioo 9215
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384  ax-arch 7385
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-inn 8335  df-2 8393  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-q 9014  df-rp 9044  df-ioo 9219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator