ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioom GIF version

Theorem ioom 10204
Description: An open interval of extended reals is inhabited iff the lower argument is less than the upper argument. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
ioom ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ioom
StepHypRef Expression
1 elioo3g 9854 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
21biimpi 119 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
32simpld 111 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*))
43simp1d 1004 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
53simp3d 1006 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ*)
63simp2d 1005 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
72simprd 113 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
87simpld 111 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
97simprd 113 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
104, 5, 6, 8, 9xrlttrd 9753 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
1110a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
1211exlimdv 1812 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝐴 < 𝐵))
13 qbtwnxr 10201 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))
14 df-rex 2454 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ ℚ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
1513, 14sylib 121 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)))
16 simpl1 995 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
17 simpl2 996 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
18 qre 9571 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
1918ad2antrl 487 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2019rexrd 7956 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
21 simprrl 534 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝐴 < 𝑥)
22 simprrr 535 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 < 𝐵)
231biimpri 132 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2416, 17, 20, 21, 22, 23syl32anc 1241 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2524ex 114 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2625eximdv 1873 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (∃𝑥(𝑥 ∈ ℚ ∧ (𝐴 < 𝑥𝑥 < 𝐵)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2715, 26mpd 13 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
28273expia 1200 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)))
2912, 28impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝐴 < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 973  wex 1485  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850  cr 7760  *cxr 7940   < clt 7941  cq 9565  (,)cioo 9832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-q 9566  df-rp 9598  df-ioo 9836
This theorem is referenced by:  tgioo  13299
  Copyright terms: Public domain W3C validator