ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsadd2b GIF version

Theorem dvdsadd2b 11842
Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
dvdsadd2b ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsadd2b
StepHypRef Expression
1 simpl1 1000 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simpl3l 1052 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
3 simpl2 1001 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4 simpl3r 1053 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
5 simpr 110 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
6 dvds2add 11827 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴𝐶𝐴𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
76imp 124 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴𝐶𝐴𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
81, 2, 3, 4, 5, 7syl32anc 1246 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
9 simpl1 1000 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
10 simp3l 1025 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
11 simp2 998 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
12 zaddcl 9291 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
1310, 11, 12syl2anc 411 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
1413adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
1510znegcld 9375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
1615adantr 276 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → -𝐶 ∈ ℤ)
17 simpr 110 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
18 simpl3r 1053 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴𝐶)
19 simpl3l 1052 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
20 dvdsnegb 11810 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴𝐶𝐴 ∥ -𝐶))
219, 19, 20syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐴𝐶𝐴 ∥ -𝐶))
2218, 21mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ -𝐶)
23 dvds2add 11827 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) ∧ 𝐴 ∥ -𝐶) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶)))
2423imp 124 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) ∧ 𝐴 ∥ -𝐶)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
259, 14, 16, 17, 22, 24syl32anc 1246 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
26 simpl2 1001 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
2712ancoms 268 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
2827zcnd 9374 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
29 zcn 9256 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
3029adantl 277 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
3128, 30negsubd 8272 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶))
32 zcn 9256 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3332adantr 276 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3430, 33pncan2d 8268 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
3531, 34eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
3626, 19, 35syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
3725, 36breqtrd 4029 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴𝐵)
388, 37impbida 596 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  cc 7808   + caddc 7813  cmin 8126  -cneg 8127  cz 9251  cdvds 11789
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-dvds 11790
This theorem is referenced by:  3dvdsdec  11864  3dvds2dec  11865  2sqlem3  14384
  Copyright terms: Public domain W3C validator