Theorem dvdsadd2b 12394

Description: Adding a multiple of the base does not affect divisibility. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsadd2b	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Proof of Theorem dvdsadd2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1024	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl3l 1076	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simpl2 1025	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simpl3r 1077	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐶)
5		simpr 110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ 𝐵)
6		dvds2add 12379	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))
7	6	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ 𝐶 ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	syl32anc 1279	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ 𝐵) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
9		simpl1 1024	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		simp3l 1049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℤ)
11		simp2 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℤ)
12		zaddcl 9512	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
15	10	znegcld 9597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → -𝐶 ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → -𝐶 ∈ ℤ)
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵))
18		simpl3r 1077	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ 𝐶)
19		simpl3l 1076	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℤ)
20		dvdsnegb 12362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ 𝐶 ↔ 𝐴 ∥ -𝐶))
21	9, 19, 20	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → (𝐴 ∥ 𝐶 ↔ 𝐴 ∥ -𝐶))
22	18, 21	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ -𝐶)
23		dvds2add 12379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) ∧ 𝐴 ∥ -𝐶) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶)))
24	23	imp 124	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ -𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵) ∧ 𝐴 ∥ -𝐶)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
25	9, 14, 16, 17, 22, 24	syl32anc 1279	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶))
26		simpl2 1025	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
27	12	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℤ)
28	27	zcnd 9596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐶 + 𝐵) ∈ ℂ)
29		zcn 9477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
30	29	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐶 ∈ ℂ)
31	28, 30	negsubd 8489	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶))
32		zcn 9477	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
34	30, 33	pncan2d 8485	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) − 𝐶) = 𝐵)
35	31, 34	eqtrd 2262	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
36	26, 19, 35	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → ((𝐶 + 𝐵) + -𝐶) = 𝐵)
37	25, 36	breqtrd 4112	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)) → 𝐴 ∥ 𝐵)
38	8, 37	impbida 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐶)) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ (𝐶 + 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℂcc 8023   + caddc 8028   − cmin 8343  -cneg 8344  ℤcz 9472   ∥ cdvds 12341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-n0 9396  df-z 9473  df-dvds 12342

This theorem is referenced by:  dvdsaddre2b  12395  3dvdsdec  12419  3dvds2dec  12420  2sqlem3  15839